ФИПИ 78cB01 — Дифференцированная схема

Нужно учесть платежи только за указанный в условии календарный год. Не складываем выплаты за весь срок. Считаем суммы в миллионах рублей. За 48 месяцев основной долг уменьшается до нуля одинаковыми частями. Если кредит равен $A$, каждый месяц возвращают следующую часть основного долга: $$d=\frac A{48}.$$ Нужному году соответствуют платежи с 37-го по 48-й включительно. Всего их: $$48-37+1=12.$$ Перед первым платежом основной долг ещё равен всему кредиту. Перед каждым следующим начислением он на $d$ меньше. Поэтому перед выбранными начислениями остаются следующие долги: $$12d,\quad 11d,\quad 10d,\quad 9d,\quad 8d,\quad 7d,\quad 6d,\quad 5d,\quad 4d,\quad 3d,\quad 2d,\quad d.$$ Каждый платёж состоит из двух частей: возвращаемой части основного долга $d$ и процентов с долга перед этим начислением. Основного долга за выбранный период вернут: $$12d=12\cdot\frac A{48}=0{,}25A.$$ Для процентов нужно сложить все долги перед начислениями. Коэффициенты при $d$ образуют арифметическую прогрессию: соседние числа отличаются на 1. Сумма равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на число членов: $$12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=\frac{(12+1)\cdot 12}{2}=78.$$ Значит, общая база начисления процентов: $$78d=78\cdot\frac A{48}=1{,}625A.$$ По условию кредит известен, поэтому найдём конкретные суммы: $$d=\frac{12}{48}=0{,}25,$$ $$V_{\text{долг}}=12\cdot0{,}25=3,$$ $$B=78\cdot 0{,}25=19{,}5.$$ Переводим известную выплату из тысяч в миллионы и вычитаем возвращённый основной долг. Остаток — проценты за этот год: $$V=\frac{3195}{1000}=3{,}195,$$ $$I=3{,}195-3=0{,}195.$$ Проценты равны $r/100$ от найденной базы. Составляем уравнение: $$19{,}5\cdot\frac r{100}=0{,}195.$$ Умножаем обе части на 100, затем делим на базу: $$19{,}5r=19{,}5,$$ $$r=\frac{19{,}5}{19{,}5}=1.$$ Проверим согласованность сумм при найденных значениях: $$3+19{,}5\cdot\frac{1}{100}=3+0{,}195=3{,}195.$$ Ответ: 1 %.