15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму
18 млн рублей на 72 месяца. Условия его возврата таковы:
$–$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
$–$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
$–$ 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
$–$ к 15 декабря 2032 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему равна общая сумма платежей в 2027 году?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $4995000$.
Решение
Нужно учесть платежи только за указанный в условии календарный год. Не складываем выплаты за весь срок. Считаем суммы в миллионах рублей.
За 72 месяцев основной долг уменьшается до нуля одинаковыми частями. Если кредит равен $A$, каждый месяц возвращают следующую часть основного долга:
$$d=\frac A{72}.$$
Нужному году соответствуют платежи с 1-го по 12-й включительно. Всего их:
$$12-1+1=12.$$
Перед первым платежом основной долг ещё равен всему кредиту. Перед каждым следующим начислением он на $d$ меньше. Поэтому перед выбранными начислениями остаются следующие долги:
$$72d,\quad 71d,\quad 70d,\quad 69d,\quad 68d,\quad 67d,\quad 66d,\quad 65d,\quad 64d,\quad 63d,\quad 62d,\quad 61d.$$
Каждый платёж состоит из двух частей: возвращаемой части основного долга $d$ и процентов с долга перед этим начислением. Основного долга за выбранный период вернут:
$$12d=12\cdot\frac A{72}=\frac{1}{6}A.$$
Для процентов нужно сложить все долги перед начислениями. Коэффициенты при $d$ образуют арифметическую прогрессию: соседние числа отличаются на 1. Сумма равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на число членов:
$$72+71+70+69+68+67+66+65+64+63+62+61=\frac{(72+61)\cdot 12}{2}=798.$$
Значит, общая база начисления процентов:
$$798d=798\cdot\frac A{72}=\frac{133}{12}A.$$
Подставляем известный кредит и вычисляем размер ежемесячного уменьшения:
$$d=\frac{18}{72}=0{,}25.$$
Основной долг, возвращённый за год:
$$12\cdot 0{,}25=3.$$
Проценты за год:
$$I=\frac{1}{100}\cdot 798\cdot 0{,}25=0{,}01\cdot 199{,}5=1{,}995.$$
Складываем обе части платежей и переводим миллионы в рубли:
$$V=3+1{,}995=4{,}995,$$
$$4{,}995\cdot1000000=4995000.$$
Проверим согласованность сумм при найденных значениях:
$$3+199{,}5\cdot\frac{1}{100}=3+1{,}995=4{,}995.$$
Ответ: 4995000 рублей.