В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн рублей на срок
10 лет. Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.
Найдите наименьшую возможную ставку $r$, если известно, что последний платёж будет не менее 0,92 млн рублей.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $15$ %.
Решение
Нужно найти минимальную процентную ставку. Из условия о равномерном уменьшении долга сначала определим, какая сумма останется перед последним начислением процентов. Считаем деньги в миллионах рублей.
За 10 лет основной долг $8$ уменьшается до нуля одинаковыми частями. Поэтому за один год возвращают:
$$d=\frac{8}{10}=0{,}8.$$
До последнего года уже сделано 9 таких уменьшений. Вычитаем их из первоначального долга:
$$D=8-9\cdot 0{,}8=8-7{,}2=0{,}8.$$
В последний январь к оставшемуся долгу прибавляются проценты. После этого последний платёж должен закрыть всю увеличенную сумму:
$$P_{\text{посл}}=D+\frac{r}{100}D=D\left(1+\frac r{100}\right).$$
По условию последний платёж не меньше 0,92 млн рублей, поэтому:
$$0{,}8\left(1+\frac r{100}\right)\ge 0{,}92.$$
Делим обе части на положительное число 0,8, поэтому знак неравенства не меняется:
$$1+\frac r{100}\ge \frac{0{,}92}{0{,}8}=1{,}15.$$
Вычитаем единицу из обеих частей:
$$\frac r{100}\ge 1{,}15-1=0{,}15.$$
Умножаем обе части на 100:
$$r\ge 0{,}15\cdot100=15.$$
Ставка может быть и дробной: условие не требует целого числа. Но среди всех допустимых значений нижняя граница уже найдена. Она включена, поскольку в условии написано «не менее».
Проверяем граничную ставку:
$$0{,}8\left(1+\frac{15}{100}\right)=0{,}8\cdot1{,}15=0{,}92.$$
При меньшей ставке множитель и последний платёж будут меньше требуемого. Ответ: 15 %.