В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей
на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
$—$ в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $4$.
Решение
Нужно найти срок кредита. Все суммы считаем в миллионах рублей. Обозначим неизвестное число лет через $n$. Так как основной долг уменьшается каждый год на одинаковую величину и в конце равен нулю, эта величина равна:
$$d=\frac{5}{n}.$$
Перед первым начислением процентов долг равен всему кредиту, перед вторым — кредиту минус $d$, перед последним — только $d$. Получаем $n$ остатков:
$$5,\quad 5-d,\quad 5-2d,\quad\ldots,\quad d.$$
Это арифметическая прогрессия. Сумму найдём по формуле: число членов умножить на полусумму первого и последнего. Подставляем $d$ и раскрываем произведение:
$$B=\frac{n(5+d)}2=\frac{n(5+\frac{5}{n})}2$$
$$B=\frac{5n+5}2=\frac{5(n+1)}2.$$
Все выплаты состоят из возвращения исходного кредита и начисленных процентов. Переплата по условию равна:
$$I=7{,}5-5=2{,}5.$$
Ставка 20 % означает множитель 0,2 при сумме остатков. Составляем уравнение:
$$0{,}2\cdot\frac{5(n+1)}2=2{,}5,$$
Вычисляем коэффициент:
$$0{,}5(n+1)=2{,}5.$$
Делим на положительный коэффициент, затем вычитаем единицу:
$$n+1=\frac{2{,}5}{0{,}5}=5,$$
$$n=5-1=4.$$
Проверяем найденный срок:
$$5+0{,}2\cdot\frac{5(4+1)}2=5+2{,}5=7{,}5.$$
Получилось положительное целое число лет, а общая выплата совпадает с условием. Ответ: 4 лет.