15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму
A млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
$–$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
$–$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
$–$ 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
$–$ к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему равно A, если общая сумма платежей в 2028 году составит 17 925 тыс. рублей?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $30$.
Решение
Нужно учесть платежи только за указанный в условии календарный год. Не складываем выплаты за весь срок. Считаем суммы в миллионах рублей.
За 24 месяцев основной долг уменьшается до нуля одинаковыми частями. Если кредит равен $A$, каждый месяц возвращают следующую часть основного долга:
$$d=\frac A{24}.$$
Нужному году соответствуют платежи с 13-го по 24-й включительно. Всего их:
$$24-13+1=12.$$
Перед первым платежом основной долг ещё равен всему кредиту. Перед каждым следующим начислением он на $d$ меньше. Поэтому перед выбранными начислениями остаются следующие долги:
$$12d,\quad 11d,\quad 10d,\quad 9d,\quad 8d,\quad 7d,\quad 6d,\quad 5d,\quad 4d,\quad 3d,\quad 2d,\quad d.$$
Каждый платёж состоит из двух частей: возвращаемой части основного долга $d$ и процентов с долга перед этим начислением. Основного долга за выбранный период вернут:
$$12d=12\cdot\frac A{24}=0{,}5A.$$
Для процентов нужно сложить все долги перед начислениями. Коэффициенты при $d$ образуют арифметическую прогрессию: соседние числа отличаются на 1. Сумма равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на число членов:
$$12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=\frac{(12+1)\cdot 12}{2}=78.$$
Значит, общая база начисления процентов:
$$78d=78\cdot\frac A{24}=3{,}25A.$$
При ставке 3 % с каждого рубля начисляют $3/100$ рубля процентов. За выбранный год проценты составят:
$$I=\frac{3}{100}\cdot 3{,}25A=0{,}0975A.$$
Прибавляем возвращаемый основной долг к процентам:
$$V=0{,}5A+0{,}0975A=0{,}5975A.$$
Сумму из условия переводим из тысяч в миллионы делением на 1000:
$$\frac{17925}{1000}=17{,}925.$$
Приравниваем найденное выражение к этой сумме и делим обе части на коэффициент при $A$:
$$0{,}5975A=17{,}925,$$
$$A=\frac{17{,}925}{0{,}5975}=30.$$
Проверим согласованность сумм при найденных значениях:
$$15+97{,}5\cdot\frac{3}{100}=15+2{,}925=17{,}925.$$
Ответ: 30 млн рублей.