Аннуитетная схема — задание №16 ЕГЭ по математике

Нужно найти первоначальную сумму кредита. Для этого проследим, как меняется долг после каждого начисления процентов и одинакового платежа. Все суммы ниже — в рублях. Обозначим исходный кредит через $S$, а один из 4 одинаковых платежей через $P$. При увеличении долга на 10 % к прежнему долгу прибавляют 10/100 его величины. Поэтому множитель начисления равен: $$q=1+\frac{10}{100}=1{,}1.$$ Каждый год сначала начисляются проценты, затем из полученной суммы вычитается платёж. Именно в таком порядке составляем выражения для остатков. После 1-го платежа остаток: $$D_1=1{,}1S-P.$$ Перед 2-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,1. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_2=1{,}1\bigl(1{,}1S-1P\bigr)-P$$ $$D_2=1{,}21S-1{,}1P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$1{,}1P+P=(1{,}1+1)P=2{,}1P,$$ $$D_2=1{,}21S-2{,}1P.$$ Перед 3-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,1. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_3=1{,}1\bigl(1{,}21S-2{,}1P\bigr)-P$$ $$D_3=1{,}331S-2{,}31P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$2{,}31P+P=(2{,}31+1)P=3{,}31P,$$ $$D_3=1{,}331S-3{,}31P.$$ Перед 4-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,1. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_4=1{,}1\bigl(1{,}331S-3{,}31P\bigr)-P$$ $$D_4=1{,}4641S-3{,}641P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$3{,}641P+P=(3{,}641+1)P=4{,}641P,$$ $$D_4=1{,}4641S-4{,}641P.$$ После последнего платежа кредит погашен полностью, то есть остаток равен нулю. Переносим слагаемое с платежом в правую часть: $$1{,}4641S-4{,}641P=0,$$ $$1{,}4641S=4{,}641P.$$ Общая выплата — 292820 рублей. Делим её на число одинаковых платежей: $$P=\frac{292820}{4}=73205.$$ Подставляем платёж в полученное равенство и делим обе части на коэффициент при $S$: $$1{,}4641S=4{,}641\cdot 73205=339744{,}405,$$ $$S=\frac{339744{,}405}{1{,}4641}=232050.$$ Проверим погашение прямым расчётом: в каждом году сначала увеличиваем оставшийся долг, затем вычитаем один и тот же платёж. Год 1: $$232050\cdot 1{,}1-73205=255255-73205=182050.$$ Год 2: $$182050\cdot 1{,}1-73205=200255-73205=127050.$$ Год 3: $$127050\cdot 1{,}1-73205=139755-73205=66550.$$ Год 4: $$66550\cdot 1{,}1-73205=73205-73205=0.$$ Получен нулевой остаток: долг закрыт в нужный срок. Сумма всех выплат: $$4P=4\cdot 73205=292820.$$ Ответ: 232050 рублей.

Нужно найти первоначальную сумму кредита. Для этого проследим, как меняется долг после каждого начисления процентов и одинакового платежа. Все суммы ниже — в рублях. Обозначим исходный кредит через $S$, а один из 3 одинаковых платежей через $P$. При увеличении долга на 20 % к прежнему долгу прибавляют 20/100 его величины. Поэтому множитель начисления равен: $$q=1+\frac{20}{100}=1{,}2.$$ Каждый год сначала начисляются проценты, затем из полученной суммы вычитается платёж. Именно в таком порядке составляем выражения для остатков. После 1-го платежа остаток: $$D_1=1{,}2S-P.$$ Перед 2-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,2. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_2=1{,}2\bigl(1{,}2S-1P\bigr)-P$$ $$D_2=1{,}44S-1{,}2P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$1{,}2P+P=(1{,}2+1)P=2{,}2P,$$ $$D_2=1{,}44S-2{,}2P.$$ Перед 3-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,2. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_3=1{,}2\bigl(1{,}44S-2{,}2P\bigr)-P$$ $$D_3=1{,}728S-2{,}64P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$2{,}64P+P=(2{,}64+1)P=3{,}64P,$$ $$D_3=1{,}728S-3{,}64P.$$ После последнего платежа кредит погашен полностью, то есть остаток равен нулю. Переносим слагаемое с платежом в правую часть: $$1{,}728S-3{,}64P=0,$$ $$1{,}728S=3{,}64P.$$ За 3 платежа банку перечислят $3P$. Из этой суммы $S$ — возвращённый кредит, остальное — переплата. По условию: $$3P-S=77200,$$ Выражаем кредит: вычитаем переплату из общей выплаты. $$S=3P-77200.$$ Подставляем это выражение вместо $S$ в равенство, полученное из погашения кредита: $$1{,}728\bigl(3P-77200\bigr)=3{,}64P,$$ Раскрываем скобки: $$5{,}184P-133401{,}6=3{,}64P,$$ Вычитаем 3,64$P$ из обеих частей и прибавляем 133401,6 к обеим частям: $$(5{,}184-3{,}64)P=133401{,}6,$$ $$1{,}544P=133401{,}6,$$ Делим обе части на положительный коэффициент при $P$: $$P=\frac{133401{,}6}{1{,}544}=86400.$$ Теперь находим исходный кредит: $$S=3\cdot 86400-77200=259200-77200=182000.$$ Проверим погашение прямым расчётом: в каждом году сначала увеличиваем оставшийся долг, затем вычитаем один и тот же платёж. Год 1: $$182000\cdot 1{,}2-86400=218400-86400=132000.$$ Год 2: $$132000\cdot 1{,}2-86400=158400-86400=72000.$$ Год 3: $$72000\cdot 1{,}2-86400=86400-86400=0.$$ Получен нулевой остаток: долг закрыт в нужный срок. Сумма всех выплат: $$3P=3\cdot 86400=259200.$$ Ответ: 182000 рублей.

Один и тот же кредит можно погасить по двум схемам. Выведем для каждой связь исходного долга со ставкой. Обозначим долг через $S$, множитель процентов — через $q=1+r/100>0$. Если каждый платёж равен $P$, после первого года остаток $qS-P$. После второго: $$q(qS-P)-P=q^2S-(q+1)P.$$ При погашении за два года этот остаток равен нулю. Для платежа 106964: $$q^2S=106964(q+1).$$ Для четырёх лет повторим то же действие ещё дважды. Каждый раз умножаем весь остаток на $q$ и вычитаем платёж: $$D_3=q\bigl(q^2S-(q+1)P\bigr)-P=q^3S-(q^2+q+1)P,$$ $$D_4=q\bigl(q^3S-(q^2+q+1)P\bigr)-P=q^4S-(q^3+q^2+q+1)P.$$ В четырёхлетней схеме $P=58564$ и $D_4=0$: $$q^4S=58564(q^3+q^2+q+1).$$ Чтобы сравнить равенства, умножаем двухлетнее на $q^2$: $$q^4S=106964q^2(q+1).$$ Левые части одинаковы. Приравниваем правые. В первой сумме группируем члены: $$q^3+q^2+q+1=q^2(q+1)+(q+1)=(q+1)(q^2+1).$$ Множитель $q+1$ положителен; делим на него обе части: $$58564(q^2+1)=106964q^2.$$ Раскрываем скобки и переносим слагаемое с $q^2$: $$58564q^2+58564=106964q^2,$$ $$58564=(106964-58564)q^2=48400q^2.$$ Делим на 48400 и сокращаем дробь: $$q^2=\frac{58564}{48400}=\frac{121}{100}.$$ Так как $q>0$, берём положительный корень: $$q=\frac{11}{10}=1{,}1.$$ Возвращаемся к ставке: $$r=100(q-1)=100(1{,}1-1)=100\cdot0{,}1=10.$$ Проверка: двухлетняя схема даёт кредит: $$S=\frac{106964(1{,}1+1)}{1{,}1^2}=185640.$$ В четырёхлетней схеме с этим кредитом и ставкой остатки после платежей: $$185640\cdot1{,}1-58564=145640,$$ $$145640\cdot1{,}1-58564=101640,$$ $$101640\cdot1{,}1-58564=53240,$$ $$53240\cdot1{,}1-58564=0.$$ Ответ: 10 %.

Нужно найти первоначальную сумму кредита. Для этого проследим, как меняется долг после каждого начисления процентов и одинакового платежа. Все суммы ниже — в рублях. Обозначим исходный кредит через $S$, а один из 4 одинаковых платежей через $P$. При увеличении долга на 20 % к прежнему долгу прибавляют 20/100 его величины. Поэтому множитель начисления равен: $$q=1+\frac{20}{100}=1{,}2.$$ Каждый год сначала начисляются проценты, затем из полученной суммы вычитается платёж. Именно в таком порядке составляем выражения для остатков. После 1-го платежа остаток: $$D_1=1{,}2S-P.$$ Перед 2-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,2. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_2=1{,}2\bigl(1{,}2S-1P\bigr)-P$$ $$D_2=1{,}44S-1{,}2P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$1{,}2P+P=(1{,}2+1)P=2{,}2P,$$ $$D_2=1{,}44S-2{,}2P.$$ Перед 3-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,2. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_3=1{,}2\bigl(1{,}44S-2{,}2P\bigr)-P$$ $$D_3=1{,}728S-2{,}64P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$2{,}64P+P=(2{,}64+1)P=3{,}64P,$$ $$D_3=1{,}728S-3{,}64P.$$ Перед 4-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,2. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_4=1{,}2\bigl(1{,}728S-3{,}64P\bigr)-P$$ $$D_4=2{,}0736S-4{,}368P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$4{,}368P+P=(4{,}368+1)P=5{,}368P,$$ $$D_4=2{,}0736S-5{,}368P.$$ После последнего платежа кредит погашен полностью, то есть остаток равен нулю. Переносим слагаемое с платежом в правую часть: $$2{,}0736S-5{,}368P=0,$$ $$2{,}0736S=5{,}368P.$$ Общая выплата — 311040 рублей. Делим её на число одинаковых платежей: $$P=\frac{311040}{4}=77760.$$ Подставляем платёж в полученное равенство и делим обе части на коэффициент при $S$: $$2{,}0736S=5{,}368\cdot 77760=417415{,}68,$$ $$S=\frac{417415{,}68}{2{,}0736}=201300.$$ Проверим погашение прямым расчётом: в каждом году сначала увеличиваем оставшийся долг, затем вычитаем один и тот же платёж. Год 1: $$201300\cdot 1{,}2-77760=241560-77760=163800.$$ Год 2: $$163800\cdot 1{,}2-77760=196560-77760=118800.$$ Год 3: $$118800\cdot 1{,}2-77760=142560-77760=64800.$$ Год 4: $$64800\cdot 1{,}2-77760=77760-77760=0.$$ Получен нулевой остаток: долг закрыт в нужный срок. Сумма всех выплат: $$4P=4\cdot 77760=311040.$$ Ответ: 201300 рублей.

Нужно найти первоначальную сумму кредита. Для этого проследим, как меняется долг после каждого начисления процентов и одинакового платежа. Все суммы ниже — в рублях. Обозначим исходный кредит через $S$, а один из 3 одинаковых платежей через $P$. При увеличении долга на 10 % к прежнему долгу прибавляют 10/100 его величины. Поэтому множитель начисления равен: $$q=1+\frac{10}{100}=1{,}1.$$ Каждый год сначала начисляются проценты, затем из полученной суммы вычитается платёж. Именно в таком порядке составляем выражения для остатков. После 1-го платежа остаток: $$D_1=1{,}1S-P.$$ Перед 2-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,1. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_2=1{,}1\bigl(1{,}1S-1P\bigr)-P$$ $$D_2=1{,}21S-1{,}1P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$1{,}1P+P=(1{,}1+1)P=2{,}1P,$$ $$D_2=1{,}21S-2{,}1P.$$ Перед 3-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,1. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_3=1{,}1\bigl(1{,}21S-2{,}1P\bigr)-P$$ $$D_3=1{,}331S-2{,}31P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$2{,}31P+P=(2{,}31+1)P=3{,}31P,$$ $$D_3=1{,}331S-3{,}31P.$$ После последнего платежа кредит погашен полностью, то есть остаток равен нулю. Переносим слагаемое с платежом в правую часть: $$1{,}331S-3{,}31P=0,$$ $$1{,}331S=3{,}31P.$$ За 3 платежа банку перечислят $3P$. Из этой суммы $S$ — возвращённый кредит, остальное — переплата. По условию: $$3P-S=40980,$$ Выражаем кредит: вычитаем переплату из общей выплаты. $$S=3P-40980.$$ Подставляем это выражение вместо $S$ в равенство, полученное из погашения кредита: $$1{,}331\bigl(3P-40980\bigr)=3{,}31P,$$ Раскрываем скобки: $$3{,}993P-54544{,}38=3{,}31P,$$ Вычитаем 3,31$P$ из обеих частей и прибавляем 54544,38 к обеим частям: $$(3{,}993-3{,}31)P=54544{,}38,$$ $$0{,}683P=54544{,}38,$$ Делим обе части на положительный коэффициент при $P$: $$P=\frac{54544{,}38}{0{,}683}=79860.$$ Теперь находим исходный кредит: $$S=3\cdot 79860-40980=239580-40980=198600.$$ Проверим погашение прямым расчётом: в каждом году сначала увеличиваем оставшийся долг, затем вычитаем один и тот же платёж. Год 1: $$198600\cdot 1{,}1-79860=218460-79860=138600.$$ Год 2: $$138600\cdot 1{,}1-79860=152460-79860=72600.$$ Год 3: $$72600\cdot 1{,}1-79860=79860-79860=0.$$ Получен нулевой остаток: долг закрыт в нужный срок. Сумма всех выплат: $$3P=3\cdot 79860=239580.$$ Ответ: 198600 рублей.

Нужно найти сумму всех выплат банку. Для этого проследим, как меняется долг после каждого начисления процентов и одинакового платежа. Все суммы ниже — в рублях. Обозначим исходный кредит через $S$, а один из 4 одинаковых платежей через $P$. При увеличении долга на 25 % к прежнему долгу прибавляют 25/100 его величины. Поэтому множитель начисления равен: $$q=1+\frac{25}{100}=1{,}25.$$ Каждый год сначала начисляются проценты, затем из полученной суммы вычитается платёж. Именно в таком порядке составляем выражения для остатков. После 1-го платежа остаток: $$D_1=1{,}25S-P.$$ Перед 2-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,25. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_2=1{,}25\bigl(1{,}25S-1P\bigr)-P$$ $$D_2=1{,}5625S-1{,}25P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$1{,}25P+P=(1{,}25+1)P=2{,}25P,$$ $$D_2=1{,}5625S-2{,}25P.$$ Перед 3-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,25. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_3=1{,}25\bigl(1{,}5625S-2{,}25P\bigr)-P$$ $$D_3=1{,}953125S-2{,}8125P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$2{,}8125P+P=(2{,}8125+1)P=3{,}8125P,$$ $$D_3=1{,}953125S-3{,}8125P.$$ Перед 4-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,25. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_4=1{,}25\bigl(1{,}953125S-3{,}8125P\bigr)-P$$ $$D_4=2{,}44140625S-4{,}765625P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$4{,}765625P+P=(4{,}765625+1)P=5{,}765625P,$$ $$D_4=2{,}44140625S-5{,}765625P.$$ После последнего платежа кредит погашен полностью, то есть остаток равен нулю. Переносим слагаемое с платежом в правую часть: $$2{,}44140625S-5{,}765625P=0,$$ $$2{,}44140625S=5{,}765625P.$$ Кредит 177120 рублей известен. Подставляем его и выражаем один платёж: $$2{,}44140625\cdot 177120=5{,}765625P,$$ $$432421{,}875=5{,}765625P,$$ $$P=\frac{432421{,}875}{5{,}765625}=75000.$$ Проверим погашение прямым расчётом: в каждом году сначала увеличиваем оставшийся долг, затем вычитаем один и тот же платёж. Год 1: $$177120\cdot 1{,}25-75000=221400-75000=146400.$$ Год 2: $$146400\cdot 1{,}25-75000=183000-75000=108000.$$ Год 3: $$108000\cdot 1{,}25-75000=135000-75000=60000.$$ Год 4: $$60000\cdot 1{,}25-75000=75000-75000=0.$$ Получен нулевой остаток: долг закрыт в нужный срок. Сумма всех выплат: $$4P=4\cdot 75000=300000.$$ Ответ: 300000 рублей.

Нужно найти первоначальную сумму кредита. Для этого проследим, как меняется долг после каждого начисления процентов и одинакового платежа. Все суммы ниже — в рублях. Обозначим исходный кредит через $S$, а один из 4 одинаковых платежей через $P$. При увеличении долга на 25 % к прежнему долгу прибавляют 25/100 его величины. Поэтому множитель начисления равен: $$q=1+\frac{25}{100}=1{,}25.$$ Каждый год сначала начисляются проценты, затем из полученной суммы вычитается платёж. Именно в таком порядке составляем выражения для остатков. После 1-го платежа остаток: $$D_1=1{,}25S-P.$$ Перед 2-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,25. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_2=1{,}25\bigl(1{,}25S-1P\bigr)-P$$ $$D_2=1{,}5625S-1{,}25P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$1{,}25P+P=(1{,}25+1)P=2{,}25P,$$ $$D_2=1{,}5625S-2{,}25P.$$ Перед 3-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,25. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_3=1{,}25\bigl(1{,}5625S-2{,}25P\bigr)-P$$ $$D_3=1{,}953125S-2{,}8125P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$2{,}8125P+P=(2{,}8125+1)P=3{,}8125P,$$ $$D_3=1{,}953125S-3{,}8125P.$$ Перед 4-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,25. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_4=1{,}25\bigl(1{,}953125S-3{,}8125P\bigr)-P$$ $$D_4=2{,}44140625S-4{,}765625P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$4{,}765625P+P=(4{,}765625+1)P=5{,}765625P,$$ $$D_4=2{,}44140625S-5{,}765625P.$$ После последнего платежа кредит погашен полностью, то есть остаток равен нулю. Переносим слагаемое с платежом в правую часть: $$2{,}44140625S-5{,}765625P=0,$$ $$2{,}44140625S=5{,}765625P.$$ Общая выплата — 375000 рублей. Делим её на число одинаковых платежей: $$P=\frac{375000}{4}=93750.$$ Подставляем платёж в полученное равенство и делим обе части на коэффициент при $S$: $$2{,}44140625S=5{,}765625\cdot 93750=540527{,}34375,$$ $$S=\frac{540527{,}34375}{2{,}44140625}=221400.$$ Проверим погашение прямым расчётом: в каждом году сначала увеличиваем оставшийся долг, затем вычитаем один и тот же платёж. Год 1: $$221400\cdot 1{,}25-93750=276750-93750=183000.$$ Год 2: $$183000\cdot 1{,}25-93750=228750-93750=135000.$$ Год 3: $$135000\cdot 1{,}25-93750=168750-93750=75000.$$ Год 4: $$75000\cdot 1{,}25-93750=93750-93750=0.$$ Получен нулевой остаток: долг закрыт в нужный срок. Сумма всех выплат: $$4P=4\cdot 93750=375000.$$ Ответ: 221400 рублей.

Нужно найти сумму всех выплат банку. Для этого проследим, как меняется долг после каждого начисления процентов и одинакового платежа. Все суммы ниже — в рублях. Обозначим исходный кредит через $S$, а один из 3 одинаковых платежей через $P$. При увеличении долга на 10 % к прежнему долгу прибавляют 10/100 его величины. Поэтому множитель начисления равен: $$q=1+\frac{10}{100}=1{,}1.$$ Каждый год сначала начисляются проценты, затем из полученной суммы вычитается платёж. Именно в таком порядке составляем выражения для остатков. После 1-го платежа остаток: $$D_1=1{,}1S-P.$$ Перед 2-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,1. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_2=1{,}1\bigl(1{,}1S-1P\bigr)-P$$ $$D_2=1{,}21S-1{,}1P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$1{,}1P+P=(1{,}1+1)P=2{,}1P,$$ $$D_2=1{,}21S-2{,}1P.$$ Перед 3-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,1. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_3=1{,}1\bigl(1{,}21S-2{,}1P\bigr)-P$$ $$D_3=1{,}331S-2{,}31P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$2{,}31P+P=(2{,}31+1)P=3{,}31P,$$ $$D_3=1{,}331S-3{,}31P.$$ После последнего платежа кредит погашен полностью, то есть остаток равен нулю. Переносим слагаемое с платежом в правую часть: $$1{,}331S-3{,}31P=0,$$ $$1{,}331S=3{,}31P.$$ За 3 платежа банку перечислят $3P$. Из этой суммы $S$ — возвращённый кредит, остальное — переплата. По условию: $$3P-S=34150,$$ Выражаем кредит: вычитаем переплату из общей выплаты. $$S=3P-34150.$$ Подставляем это выражение вместо $S$ в равенство, полученное из погашения кредита: $$1{,}331\bigl(3P-34150\bigr)=3{,}31P,$$ Раскрываем скобки: $$3{,}993P-45453{,}65=3{,}31P,$$ Вычитаем 3,31$P$ из обеих частей и прибавляем 45453,65 к обеим частям: $$(3{,}993-3{,}31)P=45453{,}65,$$ $$0{,}683P=45453{,}65,$$ Делим обе части на положительный коэффициент при $P$: $$P=\frac{45453{,}65}{0{,}683}=66550.$$ Теперь находим исходный кредит: $$S=3\cdot 66550-34150=199650-34150=165500.$$ Проверим погашение прямым расчётом: в каждом году сначала увеличиваем оставшийся долг, затем вычитаем один и тот же платёж. Год 1: $$165500\cdot 1{,}1-66550=182050-66550=115500.$$ Год 2: $$115500\cdot 1{,}1-66550=127050-66550=60500.$$ Год 3: $$60500\cdot 1{,}1-66550=66550-66550=0.$$ Получен нулевой остаток: долг закрыт в нужный срок. Сумма всех выплат: $$3P=3\cdot 66550=199650.$$ Ответ: 199650 рублей.

Нужно найти сумму всех выплат банку. Для этого проследим, как меняется долг после каждого начисления процентов и одинакового платежа. Все суммы ниже — в рублях. Обозначим исходный кредит через $S$, а один из 3 одинаковых платежей через $P$. При увеличении долга на 20 % к прежнему долгу прибавляют 20/100 его величины. Поэтому множитель начисления равен: $$q=1+\frac{20}{100}=1{,}2.$$ Каждый год сначала начисляются проценты, затем из полученной суммы вычитается платёж. Именно в таком порядке составляем выражения для остатков. После 1-го платежа остаток: $$D_1=1{,}2S-P.$$ Перед 2-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,2. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_2=1{,}2\bigl(1{,}2S-1P\bigr)-P$$ $$D_2=1{,}44S-1{,}2P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$1{,}2P+P=(1{,}2+1)P=2{,}2P,$$ $$D_2=1{,}44S-2{,}2P.$$ Перед 3-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,2. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_3=1{,}2\bigl(1{,}44S-2{,}2P\bigr)-P$$ $$D_3=1{,}728S-2{,}64P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$2{,}64P+P=(2{,}64+1)P=3{,}64P,$$ $$D_3=1{,}728S-3{,}64P.$$ После последнего платежа кредит погашен полностью, то есть остаток равен нулю. Переносим слагаемое с платежом в правую часть: $$1{,}728S-3{,}64P=0,$$ $$1{,}728S=3{,}64P.$$ За 3 платежа банку перечислят $3P$. Из этой суммы $S$ — возвращённый кредит, остальное — переплата. По условию: $$3P-S=48250,$$ Выражаем кредит: вычитаем переплату из общей выплаты. $$S=3P-48250.$$ Подставляем это выражение вместо $S$ в равенство, полученное из погашения кредита: $$1{,}728\bigl(3P-48250\bigr)=3{,}64P,$$ Раскрываем скобки: $$5{,}184P-83376=3{,}64P,$$ Вычитаем 3,64$P$ из обеих частей и прибавляем 83376 к обеим частям: $$(5{,}184-3{,}64)P=83376,$$ $$1{,}544P=83376,$$ Делим обе части на положительный коэффициент при $P$: $$P=\frac{83376}{1{,}544}=54000.$$ Теперь находим исходный кредит: $$S=3\cdot 54000-48250=162000-48250=113750.$$ Проверим погашение прямым расчётом: в каждом году сначала увеличиваем оставшийся долг, затем вычитаем один и тот же платёж. Год 1: $$113750\cdot 1{,}2-54000=136500-54000=82500.$$ Год 2: $$82500\cdot 1{,}2-54000=99000-54000=45000.$$ Год 3: $$45000\cdot 1{,}2-54000=54000-54000=0.$$ Получен нулевой остаток: долг закрыт в нужный срок. Сумма всех выплат: $$3P=3\cdot 54000=162000.$$ Ответ: 162000 рублей.

Нужно найти сумму всех выплат банку. Для этого проследим, как меняется долг после каждого начисления процентов и одинакового платежа. Все суммы ниже — в рублях. Обозначим исходный кредит через $S$, а один из 3 одинаковых платежей через $P$. При увеличении долга на 25 % к прежнему долгу прибавляют 25/100 его величины. Поэтому множитель начисления равен: $$q=1+\frac{25}{100}=1{,}25.$$ Каждый год сначала начисляются проценты, затем из полученной суммы вычитается платёж. Именно в таком порядке составляем выражения для остатков. После 1-го платежа остаток: $$D_1=1{,}25S-P.$$ Перед 2-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,25. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_2=1{,}25\bigl(1{,}25S-1P\bigr)-P$$ $$D_2=1{,}5625S-1{,}25P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$1{,}25P+P=(1{,}25+1)P=2{,}25P,$$ $$D_2=1{,}5625S-2{,}25P.$$ Перед 3-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,25. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_3=1{,}25\bigl(1{,}5625S-2{,}25P\bigr)-P$$ $$D_3=1{,}953125S-2{,}8125P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$2{,}8125P+P=(2{,}8125+1)P=3{,}8125P,$$ $$D_3=1{,}953125S-3{,}8125P.$$ После последнего платежа кредит погашен полностью, то есть остаток равен нулю. Переносим слагаемое с платежом в правую часть: $$1{,}953125S-3{,}8125P=0,$$ $$1{,}953125S=3{,}8125P.$$ За 3 платежа банку перечислят $3P$. Из этой суммы $S$ — возвращённый кредит, остальное — переплата. По условию: $$3P-S=104800,$$ Выражаем кредит: вычитаем переплату из общей выплаты. $$S=3P-104800.$$ Подставляем это выражение вместо $S$ в равенство, полученное из погашения кредита: $$1{,}953125\bigl(3P-104800\bigr)=3{,}8125P,$$ Раскрываем скобки: $$5{,}859375P-204687{,}5=3{,}8125P,$$ Вычитаем 3,8125$P$ из обеих частей и прибавляем 204687,5 к обеим частям: $$(5{,}859375-3{,}8125)P=204687{,}5,$$ $$2{,}046875P=204687{,}5,$$ Делим обе части на положительный коэффициент при $P$: $$P=\frac{204687{,}5}{2{,}046875}=100000.$$ Теперь находим исходный кредит: $$S=3\cdot 100000-104800=300000-104800=195200.$$ Проверим погашение прямым расчётом: в каждом году сначала увеличиваем оставшийся долг, затем вычитаем один и тот же платёж. Год 1: $$195200\cdot 1{,}25-100000=244000-100000=144000.$$ Год 2: $$144000\cdot 1{,}25-100000=180000-100000=80000.$$ Год 3: $$80000\cdot 1{,}25-100000=100000-100000=0.$$ Получен нулевой остаток: долг закрыт в нужный срок. Сумма всех выплат: $$3P=3\cdot 100000=300000.$$ Ответ: 300000 рублей.

Нужно найти сумму всех выплат банку. Для этого проследим, как меняется долг после каждого начисления процентов и одинакового платежа. Все суммы ниже — в рублях. Обозначим исходный кредит через $S$, а один из 4 одинаковых платежей через $P$. При увеличении долга на 20 % к прежнему долгу прибавляют 20/100 его величины. Поэтому множитель начисления равен: $$q=1+\frac{20}{100}=1{,}2.$$ Каждый год сначала начисляются проценты, затем из полученной суммы вычитается платёж. Именно в таком порядке составляем выражения для остатков. После 1-го платежа остаток: $$D_1=1{,}2S-P.$$ Перед 2-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,2. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_2=1{,}2\bigl(1{,}2S-1P\bigr)-P$$ $$D_2=1{,}44S-1{,}2P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$1{,}2P+P=(1{,}2+1)P=2{,}2P,$$ $$D_2=1{,}44S-2{,}2P.$$ Перед 3-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,2. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_3=1{,}2\bigl(1{,}44S-2{,}2P\bigr)-P$$ $$D_3=1{,}728S-2{,}64P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$2{,}64P+P=(2{,}64+1)P=3{,}64P,$$ $$D_3=1{,}728S-3{,}64P.$$ Перед 4-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,2. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_4=1{,}2\bigl(1{,}728S-3{,}64P\bigr)-P$$ $$D_4=2{,}0736S-4{,}368P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$4{,}368P+P=(4{,}368+1)P=5{,}368P,$$ $$D_4=2{,}0736S-5{,}368P.$$ После последнего платежа кредит погашен полностью, то есть остаток равен нулю. Переносим слагаемое с платежом в правую часть: $$2{,}0736S-5{,}368P=0,$$ $$2{,}0736S=5{,}368P.$$ Кредит 419375 рублей известен. Подставляем его и выражаем один платёж: $$2{,}0736\cdot 419375=5{,}368P,$$ $$869616=5{,}368P,$$ $$P=\frac{869616}{5{,}368}=162000.$$ Проверим погашение прямым расчётом: в каждом году сначала увеличиваем оставшийся долг, затем вычитаем один и тот же платёж. Год 1: $$419375\cdot 1{,}2-162000=503250-162000=341250.$$ Год 2: $$341250\cdot 1{,}2-162000=409500-162000=247500.$$ Год 3: $$247500\cdot 1{,}2-162000=297000-162000=135000.$$ Год 4: $$135000\cdot 1{,}2-162000=162000-162000=0.$$ Получен нулевой остаток: долг закрыт в нужный срок. Сумма всех выплат: $$4P=4\cdot 162000=648000.$$ Ответ: 648000 рублей.