ФИПИ F6F358 — Аннуитетная схема

Нужно найти сумму всех выплат банку. Для этого проследим, как меняется долг после каждого начисления процентов и одинакового платежа. Все суммы ниже — в рублях. Обозначим исходный кредит через $S$, а один из 3 одинаковых платежей через $P$. При увеличении долга на 25 % к прежнему долгу прибавляют 25/100 его величины. Поэтому множитель начисления равен: $$q=1+\frac{25}{100}=1{,}25.$$ Каждый год сначала начисляются проценты, затем из полученной суммы вычитается платёж. Именно в таком порядке составляем выражения для остатков. После 1-го платежа остаток: $$D_1=1{,}25S-P.$$ Перед 2-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,25. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_2=1{,}25\bigl(1{,}25S-1P\bigr)-P$$ $$D_2=1{,}5625S-1{,}25P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$1{,}25P+P=(1{,}25+1)P=2{,}25P,$$ $$D_2=1{,}5625S-2{,}25P.$$ Перед 3-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,25. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_3=1{,}25\bigl(1{,}5625S-2{,}25P\bigr)-P$$ $$D_3=1{,}953125S-2{,}8125P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$2{,}8125P+P=(2{,}8125+1)P=3{,}8125P,$$ $$D_3=1{,}953125S-3{,}8125P.$$ После последнего платежа кредит погашен полностью, то есть остаток равен нулю. Переносим слагаемое с платежом в правую часть: $$1{,}953125S-3{,}8125P=0,$$ $$1{,}953125S=3{,}8125P.$$ За 3 платежа банку перечислят $3P$. Из этой суммы $S$ — возвращённый кредит, остальное — переплата. По условию: $$3P-S=104800,$$ Выражаем кредит: вычитаем переплату из общей выплаты. $$S=3P-104800.$$ Подставляем это выражение вместо $S$ в равенство, полученное из погашения кредита: $$1{,}953125\bigl(3P-104800\bigr)=3{,}8125P,$$ Раскрываем скобки: $$5{,}859375P-204687{,}5=3{,}8125P,$$ Вычитаем 3,8125$P$ из обеих частей и прибавляем 204687,5 к обеим частям: $$(5{,}859375-3{,}8125)P=204687{,}5,$$ $$2{,}046875P=204687{,}5,$$ Делим обе части на положительный коэффициент при $P$: $$P=\frac{204687{,}5}{2{,}046875}=100000.$$ Теперь находим исходный кредит: $$S=3\cdot 100000-104800=300000-104800=195200.$$ Проверим погашение прямым расчётом: в каждом году сначала увеличиваем оставшийся долг, затем вычитаем один и тот же платёж. Год 1: $$195200\cdot 1{,}25-100000=244000-100000=144000.$$ Год 2: $$144000\cdot 1{,}25-100000=180000-100000=80000.$$ Год 3: $$80000\cdot 1{,}25-100000=100000-100000=0.$$ Получен нулевой остаток: долг закрыт в нужный срок. Сумма всех выплат: $$3P=3\cdot 100000=300000.$$ Ответ: 300000 рублей.