В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 77 200 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $182000$ рублей.
Решение
Нужно найти первоначальную сумму кредита. Для этого проследим, как меняется долг после каждого начисления процентов и одинакового платежа. Все суммы ниже — в рублях.
Обозначим исходный кредит через $S$, а один из 3 одинаковых платежей через $P$. При увеличении долга на 20 % к прежнему долгу прибавляют 20/100 его величины. Поэтому множитель начисления равен:
$$q=1+\frac{20}{100}=1{,}2.$$
Каждый год сначала начисляются проценты, затем из полученной суммы вычитается платёж. Именно в таком порядке составляем выражения для остатков.
После 1-го платежа остаток:
$$D_1=1{,}2S-P.$$
Перед 2-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,2. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое:
$$D_2=1{,}2\bigl(1{,}2S-1P\bigr)-P$$
$$D_2=1{,}44S-1{,}2P-P$$
Собираем слагаемые с платежом:
$$1{,}2P+P=(1{,}2+1)P=2{,}2P,$$
$$D_2=1{,}44S-2{,}2P.$$
Перед 3-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,2. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое:
$$D_3=1{,}2\bigl(1{,}44S-2{,}2P\bigr)-P$$
$$D_3=1{,}728S-2{,}64P-P$$
Собираем слагаемые с платежом:
$$2{,}64P+P=(2{,}64+1)P=3{,}64P,$$
$$D_3=1{,}728S-3{,}64P.$$
После последнего платежа кредит погашен полностью, то есть остаток равен нулю. Переносим слагаемое с платежом в правую часть:
$$1{,}728S-3{,}64P=0,$$
$$1{,}728S=3{,}64P.$$
За 3 платежа банку перечислят $3P$. Из этой суммы $S$ — возвращённый кредит, остальное — переплата. По условию:
$$3P-S=77200,$$
Выражаем кредит: вычитаем переплату из общей выплаты.
$$S=3P-77200.$$
Подставляем это выражение вместо $S$ в равенство, полученное из погашения кредита:
$$1{,}728\bigl(3P-77200\bigr)=3{,}64P,$$
Раскрываем скобки:
$$5{,}184P-133401{,}6=3{,}64P,$$
Вычитаем 3,64$P$ из обеих частей и прибавляем 133401,6 к обеим частям:
$$(5{,}184-3{,}64)P=133401{,}6,$$
$$1{,}544P=133401{,}6,$$
Делим обе части на положительный коэффициент при $P$:
$$P=\frac{133401{,}6}{1{,}544}=86400.$$
Теперь находим исходный кредит:
$$S=3\cdot 86400-77200=259200-77200=182000.$$
Проверим погашение прямым расчётом: в каждом году сначала увеличиваем оставшийся долг, затем вычитаем один и тот же платёж.
Год 1:
$$182000\cdot 1{,}2-86400=218400-86400=132000.$$
Год 2:
$$132000\cdot 1{,}2-86400=158400-86400=72000.$$
Год 3:
$$72000\cdot 1{,}2-86400=86400-86400=0.$$
Получен нулевой остаток: долг закрыт в нужный срок. Сумма всех выплат:
$$3P=3\cdot 86400=259200.$$
Ответ: 182000 рублей.