ФИПИ D334F2 — Аннуитетная схема

Нужно найти сумму всех выплат банку. Для этого проследим, как меняется долг после каждого начисления процентов и одинакового платежа. Все суммы ниже — в рублях. Обозначим исходный кредит через $S$, а один из 4 одинаковых платежей через $P$. При увеличении долга на 25 % к прежнему долгу прибавляют 25/100 его величины. Поэтому множитель начисления равен: $$q=1+\frac{25}{100}=1{,}25.$$ Каждый год сначала начисляются проценты, затем из полученной суммы вычитается платёж. Именно в таком порядке составляем выражения для остатков. После 1-го платежа остаток: $$D_1=1{,}25S-P.$$ Перед 2-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,25. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_2=1{,}25\bigl(1{,}25S-1P\bigr)-P$$ $$D_2=1{,}5625S-1{,}25P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$1{,}25P+P=(1{,}25+1)P=2{,}25P,$$ $$D_2=1{,}5625S-2{,}25P.$$ Перед 3-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,25. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_3=1{,}25\bigl(1{,}5625S-2{,}25P\bigr)-P$$ $$D_3=1{,}953125S-2{,}8125P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$2{,}8125P+P=(2{,}8125+1)P=3{,}8125P,$$ $$D_3=1{,}953125S-3{,}8125P.$$ Перед 4-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,25. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_4=1{,}25\bigl(1{,}953125S-3{,}8125P\bigr)-P$$ $$D_4=2{,}44140625S-4{,}765625P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$4{,}765625P+P=(4{,}765625+1)P=5{,}765625P,$$ $$D_4=2{,}44140625S-5{,}765625P.$$ После последнего платежа кредит погашен полностью, то есть остаток равен нулю. Переносим слагаемое с платежом в правую часть: $$2{,}44140625S-5{,}765625P=0,$$ $$2{,}44140625S=5{,}765625P.$$ Кредит 177120 рублей известен. Подставляем его и выражаем один платёж: $$2{,}44140625\cdot 177120=5{,}765625P,$$ $$432421{,}875=5{,}765625P,$$ $$P=\frac{432421{,}875}{5{,}765625}=75000.$$ Проверим погашение прямым расчётом: в каждом году сначала увеличиваем оставшийся долг, затем вычитаем один и тот же платёж. Год 1: $$177120\cdot 1{,}25-75000=221400-75000=146400.$$ Год 2: $$146400\cdot 1{,}25-75000=183000-75000=108000.$$ Год 3: $$108000\cdot 1{,}25-75000=135000-75000=60000.$$ Год 4: $$60000\cdot 1{,}25-75000=75000-75000=0.$$ Получен нулевой остаток: долг закрыт в нужный срок. Сумма всех выплат: $$4P=4\cdot 75000=300000.$$ Ответ: 300000 рублей.