В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 34 150 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $199650$ рублей.
Решение
Нужно найти сумму всех выплат банку. Для этого проследим, как меняется долг после каждого начисления процентов и одинакового платежа. Все суммы ниже — в рублях.
Обозначим исходный кредит через $S$, а один из 3 одинаковых платежей через $P$. При увеличении долга на 10 % к прежнему долгу прибавляют 10/100 его величины. Поэтому множитель начисления равен:
$$q=1+\frac{10}{100}=1{,}1.$$
Каждый год сначала начисляются проценты, затем из полученной суммы вычитается платёж. Именно в таком порядке составляем выражения для остатков.
После 1-го платежа остаток:
$$D_1=1{,}1S-P.$$
Перед 2-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,1. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое:
$$D_2=1{,}1\bigl(1{,}1S-1P\bigr)-P$$
$$D_2=1{,}21S-1{,}1P-P$$
Собираем слагаемые с платежом:
$$1{,}1P+P=(1{,}1+1)P=2{,}1P,$$
$$D_2=1{,}21S-2{,}1P.$$
Перед 3-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,1. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое:
$$D_3=1{,}1\bigl(1{,}21S-2{,}1P\bigr)-P$$
$$D_3=1{,}331S-2{,}31P-P$$
Собираем слагаемые с платежом:
$$2{,}31P+P=(2{,}31+1)P=3{,}31P,$$
$$D_3=1{,}331S-3{,}31P.$$
После последнего платежа кредит погашен полностью, то есть остаток равен нулю. Переносим слагаемое с платежом в правую часть:
$$1{,}331S-3{,}31P=0,$$
$$1{,}331S=3{,}31P.$$
За 3 платежа банку перечислят $3P$. Из этой суммы $S$ — возвращённый кредит, остальное — переплата. По условию:
$$3P-S=34150,$$
Выражаем кредит: вычитаем переплату из общей выплаты.
$$S=3P-34150.$$
Подставляем это выражение вместо $S$ в равенство, полученное из погашения кредита:
$$1{,}331\bigl(3P-34150\bigr)=3{,}31P,$$
Раскрываем скобки:
$$3{,}993P-45453{,}65=3{,}31P,$$
Вычитаем 3,31$P$ из обеих частей и прибавляем 45453,65 к обеим частям:
$$(3{,}993-3{,}31)P=45453{,}65,$$
$$0{,}683P=45453{,}65,$$
Делим обе части на положительный коэффициент при $P$:
$$P=\frac{45453{,}65}{0{,}683}=66550.$$
Теперь находим исходный кредит:
$$S=3\cdot 66550-34150=199650-34150=165500.$$
Проверим погашение прямым расчётом: в каждом году сначала увеличиваем оставшийся долг, затем вычитаем один и тот же платёж.
Год 1:
$$165500\cdot 1{,}1-66550=182050-66550=115500.$$
Год 2:
$$115500\cdot 1{,}1-66550=127050-66550=60500.$$
Год 3:
$$60500\cdot 1{,}1-66550=66550-66550=0.$$
Получен нулевой остаток: долг закрыт в нужный срок. Сумма всех выплат:
$$3P=3\cdot 66550=199650.$$
Ответ: 199650 рублей.