ФИПИ 53A300 — Аннуитетная схема

Нужно найти первоначальную сумму кредита. Для этого проследим, как меняется долг после каждого начисления процентов и одинакового платежа. Все суммы ниже — в рублях. Обозначим исходный кредит через $S$, а один из 4 одинаковых платежей через $P$. При увеличении долга на 10 % к прежнему долгу прибавляют 10/100 его величины. Поэтому множитель начисления равен: $$q=1+\frac{10}{100}=1{,}1.$$ Каждый год сначала начисляются проценты, затем из полученной суммы вычитается платёж. Именно в таком порядке составляем выражения для остатков. После 1-го платежа остаток: $$D_1=1{,}1S-P.$$ Перед 2-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,1. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_2=1{,}1\bigl(1{,}1S-1P\bigr)-P$$ $$D_2=1{,}21S-1{,}1P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$1{,}1P+P=(1{,}1+1)P=2{,}1P,$$ $$D_2=1{,}21S-2{,}1P.$$ Перед 3-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,1. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_3=1{,}1\bigl(1{,}21S-2{,}1P\bigr)-P$$ $$D_3=1{,}331S-2{,}31P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$2{,}31P+P=(2{,}31+1)P=3{,}31P,$$ $$D_3=1{,}331S-3{,}31P.$$ Перед 4-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,1. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_4=1{,}1\bigl(1{,}331S-3{,}31P\bigr)-P$$ $$D_4=1{,}4641S-3{,}641P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$3{,}641P+P=(3{,}641+1)P=4{,}641P,$$ $$D_4=1{,}4641S-4{,}641P.$$ После последнего платежа кредит погашен полностью, то есть остаток равен нулю. Переносим слагаемое с платежом в правую часть: $$1{,}4641S-4{,}641P=0,$$ $$1{,}4641S=4{,}641P.$$ Общая выплата — 292820 рублей. Делим её на число одинаковых платежей: $$P=\frac{292820}{4}=73205.$$ Подставляем платёж в полученное равенство и делим обе части на коэффициент при $S$: $$1{,}4641S=4{,}641\cdot 73205=339744{,}405,$$ $$S=\frac{339744{,}405}{1{,}4641}=232050.$$ Проверим погашение прямым расчётом: в каждом году сначала увеличиваем оставшийся долг, затем вычитаем один и тот же платёж. Год 1: $$232050\cdot 1{,}1-73205=255255-73205=182050.$$ Год 2: $$182050\cdot 1{,}1-73205=200255-73205=127050.$$ Год 3: $$127050\cdot 1{,}1-73205=139755-73205=66550.$$ Год 4: $$66550\cdot 1{,}1-73205=73205-73205=0.$$ Получен нулевой остаток: долг закрыт в нужный срок. Сумма всех выплат: $$4P=4\cdot 73205=292820.$$ Ответ: 232050 рублей.