В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 40 980 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $198600$ рублей.
Решение
Нужно найти первоначальную сумму кредита. Для этого проследим, как меняется долг после каждого начисления процентов и одинакового платежа. Все суммы ниже — в рублях.
Обозначим исходный кредит через $S$, а один из 3 одинаковых платежей через $P$. При увеличении долга на 10 % к прежнему долгу прибавляют 10/100 его величины. Поэтому множитель начисления равен:
$$q=1+\frac{10}{100}=1{,}1.$$
Каждый год сначала начисляются проценты, затем из полученной суммы вычитается платёж. Именно в таком порядке составляем выражения для остатков.
После 1-го платежа остаток:
$$D_1=1{,}1S-P.$$
Перед 2-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,1. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое:
$$D_2=1{,}1\bigl(1{,}1S-1P\bigr)-P$$
$$D_2=1{,}21S-1{,}1P-P$$
Собираем слагаемые с платежом:
$$1{,}1P+P=(1{,}1+1)P=2{,}1P,$$
$$D_2=1{,}21S-2{,}1P.$$
Перед 3-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,1. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое:
$$D_3=1{,}1\bigl(1{,}21S-2{,}1P\bigr)-P$$
$$D_3=1{,}331S-2{,}31P-P$$
Собираем слагаемые с платежом:
$$2{,}31P+P=(2{,}31+1)P=3{,}31P,$$
$$D_3=1{,}331S-3{,}31P.$$
После последнего платежа кредит погашен полностью, то есть остаток равен нулю. Переносим слагаемое с платежом в правую часть:
$$1{,}331S-3{,}31P=0,$$
$$1{,}331S=3{,}31P.$$
За 3 платежа банку перечислят $3P$. Из этой суммы $S$ — возвращённый кредит, остальное — переплата. По условию:
$$3P-S=40980,$$
Выражаем кредит: вычитаем переплату из общей выплаты.
$$S=3P-40980.$$
Подставляем это выражение вместо $S$ в равенство, полученное из погашения кредита:
$$1{,}331\bigl(3P-40980\bigr)=3{,}31P,$$
Раскрываем скобки:
$$3{,}993P-54544{,}38=3{,}31P,$$
Вычитаем 3,31$P$ из обеих частей и прибавляем 54544,38 к обеим частям:
$$(3{,}993-3{,}31)P=54544{,}38,$$
$$0{,}683P=54544{,}38,$$
Делим обе части на положительный коэффициент при $P$:
$$P=\frac{54544{,}38}{0{,}683}=79860.$$
Теперь находим исходный кредит:
$$S=3\cdot 79860-40980=239580-40980=198600.$$
Проверим погашение прямым расчётом: в каждом году сначала увеличиваем оставшийся долг, затем вычитаем один и тот же платёж.
Год 1:
$$198600\cdot 1{,}1-79860=218460-79860=138600.$$
Год 2:
$$138600\cdot 1{,}1-79860=152460-79860=72600.$$
Год 3:
$$72600\cdot 1{,}1-79860=79860-79860=0.$$
Получен нулевой остаток: долг закрыт в нужный срок. Сумма всех выплат:
$$3P=3\cdot 79860=239580.$$
Ответ: 198600 рублей.