ФИПИ FE9D85 — Аннуитетная схема

Нужно найти сумму всех выплат банку. Для этого проследим, как меняется долг после каждого начисления процентов и одинакового платежа. Все суммы ниже — в рублях. Обозначим исходный кредит через $S$, а один из 4 одинаковых платежей через $P$. При увеличении долга на 20 % к прежнему долгу прибавляют 20/100 его величины. Поэтому множитель начисления равен: $$q=1+\frac{20}{100}=1{,}2.$$ Каждый год сначала начисляются проценты, затем из полученной суммы вычитается платёж. Именно в таком порядке составляем выражения для остатков. После 1-го платежа остаток: $$D_1=1{,}2S-P.$$ Перед 2-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,2. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_2=1{,}2\bigl(1{,}2S-1P\bigr)-P$$ $$D_2=1{,}44S-1{,}2P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$1{,}2P+P=(1{,}2+1)P=2{,}2P,$$ $$D_2=1{,}44S-2{,}2P.$$ Перед 3-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,2. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_3=1{,}2\bigl(1{,}44S-2{,}2P\bigr)-P$$ $$D_3=1{,}728S-2{,}64P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$2{,}64P+P=(2{,}64+1)P=3{,}64P,$$ $$D_3=1{,}728S-3{,}64P.$$ Перед 4-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,2. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_4=1{,}2\bigl(1{,}728S-3{,}64P\bigr)-P$$ $$D_4=2{,}0736S-4{,}368P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$4{,}368P+P=(4{,}368+1)P=5{,}368P,$$ $$D_4=2{,}0736S-5{,}368P.$$ После последнего платежа кредит погашен полностью, то есть остаток равен нулю. Переносим слагаемое с платежом в правую часть: $$2{,}0736S-5{,}368P=0,$$ $$2{,}0736S=5{,}368P.$$ Кредит 419375 рублей известен. Подставляем его и выражаем один платёж: $$2{,}0736\cdot 419375=5{,}368P,$$ $$869616=5{,}368P,$$ $$P=\frac{869616}{5{,}368}=162000.$$ Проверим погашение прямым расчётом: в каждом году сначала увеличиваем оставшийся долг, затем вычитаем один и тот же платёж. Год 1: $$419375\cdot 1{,}2-162000=503250-162000=341250.$$ Год 2: $$341250\cdot 1{,}2-162000=409500-162000=247500.$$ Год 3: $$247500\cdot 1{,}2-162000=297000-162000=135000.$$ Год 4: $$135000\cdot 1{,}2-162000=162000-162000=0.$$ Получен нулевой остаток: долг закрыт в нужный срок. Сумма всех выплат: $$4P=4\cdot 162000=648000.$$ Ответ: 648000 рублей.