В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг увеличивается на $r$ % по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите $r$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $10$ %.
Решение
Один и тот же кредит можно погасить по двум схемам. Выведем для каждой связь исходного долга со ставкой. Обозначим долг через $S$, множитель процентов — через $q=1+r/100>0$.
Если каждый платёж равен $P$, после первого года остаток $qS-P$. После второго:
$$q(qS-P)-P=q^2S-(q+1)P.$$
При погашении за два года этот остаток равен нулю. Для платежа 106964:
$$q^2S=106964(q+1).$$
Для четырёх лет повторим то же действие ещё дважды. Каждый раз умножаем весь остаток на $q$ и вычитаем платёж:
$$D_3=q\bigl(q^2S-(q+1)P\bigr)-P=q^3S-(q^2+q+1)P,$$
$$D_4=q\bigl(q^3S-(q^2+q+1)P\bigr)-P=q^4S-(q^3+q^2+q+1)P.$$
В четырёхлетней схеме $P=58564$ и $D_4=0$:
$$q^4S=58564(q^3+q^2+q+1).$$
Чтобы сравнить равенства, умножаем двухлетнее на $q^2$:
$$q^4S=106964q^2(q+1).$$
Левые части одинаковы. Приравниваем правые. В первой сумме группируем члены:
$$q^3+q^2+q+1=q^2(q+1)+(q+1)=(q+1)(q^2+1).$$
Множитель $q+1$ положителен; делим на него обе части:
$$58564(q^2+1)=106964q^2.$$
Раскрываем скобки и переносим слагаемое с $q^2$:
$$58564q^2+58564=106964q^2,$$
$$58564=(106964-58564)q^2=48400q^2.$$
Делим на 48400 и сокращаем дробь:
$$q^2=\frac{58564}{48400}=\frac{121}{100}.$$
Так как $q>0$, берём положительный корень:
$$q=\frac{11}{10}=1{,}1.$$
Возвращаемся к ставке:
$$r=100(q-1)=100(1{,}1-1)=100\cdot0{,}1=10.$$
Проверка: двухлетняя схема даёт кредит:
$$S=\frac{106964(1{,}1+1)}{1{,}1^2}=185640.$$
В четырёхлетней схеме с этим кредитом и ставкой остатки после платежей:
$$185640\cdot1{,}1-58564=145640,$$
$$145640\cdot1{,}1-58564=101640,$$
$$101640\cdot1{,}1-58564=53240,$$
$$53240\cdot1{,}1-58564=0.$$
Ответ: 10 %.