ФИПИ E8199D — Аннуитетная схема

Нужно найти первоначальную сумму кредита. Для этого проследим, как меняется долг после каждого начисления процентов и одинакового платежа. Все суммы ниже — в рублях. Обозначим исходный кредит через $S$, а один из 4 одинаковых платежей через $P$. При увеличении долга на 25 % к прежнему долгу прибавляют 25/100 его величины. Поэтому множитель начисления равен: $$q=1+\frac{25}{100}=1{,}25.$$ Каждый год сначала начисляются проценты, затем из полученной суммы вычитается платёж. Именно в таком порядке составляем выражения для остатков. После 1-го платежа остаток: $$D_1=1{,}25S-P.$$ Перед 2-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,25. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_2=1{,}25\bigl(1{,}25S-1P\bigr)-P$$ $$D_2=1{,}5625S-1{,}25P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$1{,}25P+P=(1{,}25+1)P=2{,}25P,$$ $$D_2=1{,}5625S-2{,}25P.$$ Перед 3-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,25. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_3=1{,}25\bigl(1{,}5625S-2{,}25P\bigr)-P$$ $$D_3=1{,}953125S-2{,}8125P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$2{,}8125P+P=(2{,}8125+1)P=3{,}8125P,$$ $$D_3=1{,}953125S-3{,}8125P.$$ Перед 4-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,25. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_4=1{,}25\bigl(1{,}953125S-3{,}8125P\bigr)-P$$ $$D_4=2{,}44140625S-4{,}765625P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$4{,}765625P+P=(4{,}765625+1)P=5{,}765625P,$$ $$D_4=2{,}44140625S-5{,}765625P.$$ После последнего платежа кредит погашен полностью, то есть остаток равен нулю. Переносим слагаемое с платежом в правую часть: $$2{,}44140625S-5{,}765625P=0,$$ $$2{,}44140625S=5{,}765625P.$$ Общая выплата — 375000 рублей. Делим её на число одинаковых платежей: $$P=\frac{375000}{4}=93750.$$ Подставляем платёж в полученное равенство и делим обе части на коэффициент при $S$: $$2{,}44140625S=5{,}765625\cdot 93750=540527{,}34375,$$ $$S=\frac{540527{,}34375}{2{,}44140625}=221400.$$ Проверим погашение прямым расчётом: в каждом году сначала увеличиваем оставшийся долг, затем вычитаем один и тот же платёж. Год 1: $$221400\cdot 1{,}25-93750=276750-93750=183000.$$ Год 2: $$183000\cdot 1{,}25-93750=228750-93750=135000.$$ Год 3: $$135000\cdot 1{,}25-93750=168750-93750=75000.$$ Год 4: $$75000\cdot 1{,}25-93750=93750-93750=0.$$ Получен нулевой остаток: долг закрыт в нужный срок. Сумма всех выплат: $$4P=4\cdot 93750=375000.$$ Ответ: 221400 рублей.