Другие схемы платежей — задание №16 ЕГЭ по математике

Нужно проследить, на какую сумму начисляются проценты в каждом году. Считаем деньги в тысячах рублей. Обозначим исходный кредит через $S$. Уменьшение «на определённый процент» означает, что остаётся прежний долг за вычетом этого процента. В этой задаче доля оставшегося долга: $$k=1-\frac{25}{100}=0{,}75.$$ После каждого из первых платежей умножаем предыдущий остаток на эту долю. Поэтому до начислений получаются следующие остатки: $$D_0=S.$$ $$D_1=1S\cdot 0{,}75=0{,}75S.$$ $$D_2=0{,}75S\cdot 0{,}75=0{,}5625S.$$ $$D_3=0{,}5625S\cdot 0{,}75=0{,}421875S.$$ Последний платёж погашает весь оставшийся долг. Всего основной долг возвращается один раз целиком. Всё сверх $S$ — проценты. Для их подсчёта сложим остатки перед начислениями: $$B=(1+0{,}75+0{,}5625+0{,}421875)S=2{,}734375S.$$ Начисленные проценты и сумма выплат: $$I=\frac{25}{100}\cdot 2{,}734375S=0{,}68359375S,$$ $$V=S+I=S+0{,}68359375S=1{,}68359375S.$$ По условию сумма выплат известна. Делим обе части уравнения на коэффициент: $$1{,}68359375S=53875,$$ $$S=\frac{53875}{1{,}68359375}=32000.$$ Проверим расчёт по отдельным платежам. Каждый платёж — долг после начисления процентов минус требуемый остаток после выплаты. $$P_1=32000\cdot 1{,}25-24000=40000-24000=16000.$$ $$P_2=24000\cdot 1{,}25-18000=30000-18000=12000.$$ $$P_3=18000\cdot 1{,}25-13500=22500-13500=9000.$$ $$P_4=13500\cdot 1{,}25-0=16875-0=16875.$$ $$V=16000+12000+9000+16875=53875.$$ Ответ: 32000 тыс. рублей.

Здесь первые три года долг не уменьшается, а затем закрывается за два года. Рассмотрим эти этапы отдельно. Все суммы — в миллионах рублей. Обозначим исходный кредит через $S$. Ежегодный множитель начисления процентов: $$q=1+\frac{10}{100}=1{,}1.$$ В первые три года после платежа опять должен остаться долг $S$. Значит, платёж покрывает только прибавившиеся проценты. Каждый из первых трёх платежей равен: $$P_{\text{перв}}=1{,}1S-S=(1{,}1-1)S=0{,}1S.$$ За эти три года вместе выплачивают: $$3P_{\text{перв}}=3\cdot0{,}1S=0{,}3S.$$ Обозначим два последних равных платежа через $P$. Перед ними основной долг всё ещё равен $S$. После четвёртого платежа остаток: $$D_4=1{,}1S-P.$$ В пятом году на весь этот остаток начислят проценты, затем вычтут ещё $P$. Долг погасится полностью: $$1{,}1(1{,}1S-P)-P=0.$$ Раскрываем скобки и объединяем два слагаемых с платежом: $$1{,}21S-1{,}1P-P=0,$$ $$1{,}21S-(1{,}1+1)P=0,$$ $$1{,}21S=2{,}1P.$$ Делим на положительное число 2,1: $$P=\frac{1{,}21}{2{,}1}S=\frac{121}{210}S.$$ Сложим три первых и два последних платежа: $$V=0{,}3S+2\cdot\frac{121}{210}S=(0{,}3+\frac{121}{105})S=\frac{61}{42}S.$$ Общая выплата должна быть строго меньше указанного порога: $$\frac{61}{42}S<6.$$ Делим на положительный коэффициент; знак не меняется: $$S<\frac{6}{\frac{61}{42}}=\frac{252}{61}.$$ По условию число миллионов целое. Проверяем наибольшее целое число ниже этой границы и следующее за ним: $$S=4:\quad V=\frac{61}{42}\cdot4=\frac{122}{21}<6,$$ $$S=5:\quad V=\frac{61}{42}\cdot5=\frac{305}{42}>6.$$ При ещё большем кредите выплаты только увеличатся, потому что коэффициент положительный. Ответ: 4 млн рублей.

Здесь первые три года долг не уменьшается, а затем закрывается за два года. Рассмотрим эти этапы отдельно. Все суммы — в миллионах рублей. Обозначим исходный кредит через $S$. Ежегодный множитель начисления процентов: $$q=1+\frac{20}{100}=1{,}2.$$ В первые три года после платежа опять должен остаться долг $S$. Значит, платёж покрывает только прибавившиеся проценты. Каждый из первых трёх платежей равен: $$P_{\text{перв}}=1{,}2S-S=(1{,}2-1)S=0{,}2S.$$ За эти три года вместе выплачивают: $$3P_{\text{перв}}=3\cdot0{,}2S=0{,}6S.$$ Обозначим два последних равных платежа через $P$. Перед ними основной долг всё ещё равен $S$. После четвёртого платежа остаток: $$D_4=1{,}2S-P.$$ В пятом году на весь этот остаток начислят проценты, затем вычтут ещё $P$. Долг погасится полностью: $$1{,}2(1{,}2S-P)-P=0.$$ Раскрываем скобки и объединяем два слагаемых с платежом: $$1{,}44S-1{,}2P-P=0,$$ $$1{,}44S-(1{,}2+1)P=0,$$ $$1{,}44S=2{,}2P.$$ Делим на положительное число 2,2: $$P=\frac{1{,}44}{2{,}2}S=\frac{36}{55}S.$$ Сложим три первых и два последних платежа: $$V=0{,}6S+2\cdot\frac{36}{55}S=(0{,}6+\frac{72}{55})S=\frac{21}{11}S.$$ Общая выплата должна быть строго меньше указанного порога: $$\frac{21}{11}S<7.$$ Делим на положительный коэффициент; знак не меняется: $$S<\frac{7}{\frac{21}{11}}=\frac{11}{3}.$$ По условию число миллионов целое. Проверяем наибольшее целое число ниже этой границы и следующее за ним: $$S=3:\quad V=\frac{21}{11}\cdot3=\frac{63}{11}<7,$$ $$S=4:\quad V=\frac{21}{11}\cdot4=\frac{84}{11}>7.$$ При ещё большем кредите выплаты только увеличатся, потому что коэффициент положительный. Ответ: 3 млн рублей.

Нужно восстановить первоначальный кредит. Считаем суммы в тысячах рублей. Удобно двигаться от последнего платежа назад: если при движении вперёд долг умножали на коэффициент и вычитали платёж, при движении назад сначала прибавляем платёж, затем делим на коэффициент. Коэффициент начисления процентов: $$q=1+\frac{20}{100}=1{,}2.$$ После последнего платежа долг равен нулю. Значит, до этого платежа, уже с начисленными процентами, долг равен самому платежу. Чтобы убрать последнее начисление, делим на коэффициент: $$D_2=\frac{417{,}6}{1{,}2}=348.$$ Это остаток после второго платежа. Прибавляем второй платёж, восстанавливая сумму до его вычитания: $$348+300=648.$$ Теперь убираем начисление процентов второго года: $$D_1=\frac{648}{1{,}2}=540.$$ Перед первым платежом долг был больше остатка на величину этого платежа: $$540+300=840.$$ Убираем первое начисление процентов и получаем исходный кредит: $$S=\frac{840}{1{,}2}=700.$$ Проверим в прямом порядке: $$700\cdot1{,}2-300=840-300=540,$$ $$540\cdot1{,}2-300=648-300=348,$$ $$348\cdot1{,}2-417{,}6=417{,}6-417{,}6=0.$$ Ответ: 700 тыс. рублей.

Нужно разобраться в двух этапах погашения: первые пять лет долг уменьшается одним шагом, следующие пять — другим. Считаем суммы в тысячах рублей. Обозначим кредит через $S$, а остаток после пяти лет — через $D$. В первые пять лет надо уменьшить долг с $S$ до $D$. За каждый год основной долг уменьшается на: $$a=\frac{S-D}{5}.$$ В следующие пять лет надо уменьшить долг с $D$ до нуля. Поэтому второй шаг: $$b=\frac D5.$$ Чтобы найти все проценты, выпишем долги перед начислением. В первой пятилетке это: $$S,\quad S-a,\quad S-2a,\quad S-3a,\quad S-4a.$$ Сложим отдельно пять одинаковых слагаемых $S$ и коэффициенты при $a$: $$B_1=5S-(0+1+2+3+4)a=5S-10a.$$ Подставляем шаг первого этапа, сокращаем 10/5 и раскрываем скобки: $$B_1=5S-10\cdot\frac{S-D}{5}=5S-2(S-D)$$ $$B_1=5S-2S+2D=3S+2D.$$ Во второй пятилетке основной долг перед начислениями равен $5b,4b,3b,2b,b$. Их сумма: $$B_2=(5+4+3+2+1)b=15b=15\cdot\frac D5=3D.$$ Складываем обе базы процентов: $$B=B_1+B_2=3S+2D+3D=3S+5D.$$ За весь срок банк получает обратно сам кредит и проценты. По ставке $r$ % проценты равны $r/100$ от суммы всех остатков. Получаем: $$T=S+\frac r{100}(3S+5D).$$ Кредит и ставка известны. Подставляем их, раскрываем скобки и находим остаток $D$: $$2120=1400+0{,}1(3\cdot1400+5D)$$ $$2120=1820+0{,}5D.$$ Вычитаем постоянное слагаемое из обеих частей, затем делим на коэффициент: $$0{,}5D=2120-1820=300,$$ $$D=\frac{300}{0{,}5}=600.$$ Теперь вычислим два шага уменьшения: $$a=\frac{1400-600}{5}=\frac{800}{5}=160,$$ $$b=\frac{600}{5}=120.$$ Первый платёж состоит из процентов на весь кредит и первого уменьшения основного долга: $$P_1=\frac{10}{100}\cdot1400+160=140+160=300.$$ Перед последним годом остаётся один шаг второго этапа. Последний платёж погашает его вместе с процентами: $$P_{10}=120\left(1+\frac{10}{100}\right)=120\cdot1{,}1=132.$$ Проверка общей суммы процентов и выплат: $$1400+\frac{10}{100}\cdot7200=1400+720=2120.$$ Ответ: 300000 рублей.

Нужно восстановить первоначальный кредит. Считаем суммы в тысячах рублей. Удобно двигаться от последнего платежа назад: если при движении вперёд долг умножали на коэффициент и вычитали платёж, при движении назад сначала прибавляем платёж, затем делим на коэффициент. Коэффициент начисления процентов: $$q=1+\frac{20}{100}=1{,}2.$$ Сначала из общей выплаты вычитаем первые два известных платежа: $$R=1235{,}2-500-500=735{,}2-500=235{,}2.$$ После последнего платежа долг равен нулю. Значит, до этого платежа, уже с начисленными процентами, долг равен самому платежу. Чтобы убрать последнее начисление, делим на коэффициент: $$D_2=\frac{235{,}2}{1{,}2}=196.$$ Это остаток после второго платежа. Прибавляем второй платёж, восстанавливая сумму до его вычитания: $$196+500=696.$$ Теперь убираем начисление процентов второго года: $$D_1=\frac{696}{1{,}2}=580.$$ Перед первым платежом долг был больше остатка на величину этого платежа: $$580+500=1080.$$ Убираем первое начисление процентов и получаем исходный кредит: $$S=\frac{1080}{1{,}2}=900.$$ Проверим в прямом порядке: $$900\cdot1{,}2-500=1080-500=580,$$ $$580\cdot1{,}2-500=696-500=196,$$ $$196\cdot1{,}2-235{,}2=235{,}2-235{,}2=0.$$ Ответ: 900 тыс. рублей.

Нужно проследить, на какую сумму начисляются проценты в каждом году. Считаем деньги в тысячах рублей. Обозначим исходный кредит через $S$. Уменьшение «на определённый процент» означает, что остаётся прежний долг за вычетом этого процента. В этой задаче доля оставшегося долга: $$k=1-\frac{10}{100}=0{,}9.$$ После каждого из первых платежей умножаем предыдущий остаток на эту долю. Поэтому до начислений получаются следующие остатки: $$D_0=S.$$ $$D_1=1S\cdot 0{,}9=0{,}9S.$$ $$D_2=0{,}9S\cdot 0{,}9=0{,}81S.$$ Последний платёж погашает весь оставшийся долг. Всего основной долг возвращается один раз целиком. Всё сверх $S$ — проценты. Для их подсчёта сложим остатки перед начислениями: $$B=(1+0{,}9+0{,}81)S=2{,}71S.$$ Кредит известен. Подставляем его в сумму остатков: $$B=2{,}71\cdot 12000=32520.$$ Вычитаем кредит из общей выплаты, получая сумму процентов: $$I=13626-12000=1626.$$ Составляем уравнение для ставки. Умножаем на 100, затем делим на сумму остатков: $$32520\cdot\frac r{100}=1626,$$ $$32520r=162600,$$ $$r=\frac{162600}{32520}=5.$$ Проверим расчёт по отдельным платежам. Каждый платёж — долг после начисления процентов минус требуемый остаток после выплаты. $$P_1=12000\cdot 1{,}05-10800=12600-10800=1800.$$ $$P_2=10800\cdot 1{,}05-9720=11340-9720=1620.$$ $$P_3=9720\cdot 1{,}05-0=10206-0=10206.$$ $$V=1800+1620+10206=13626.$$ Ответ: 5 %.

Нужно отделить равномерное уменьшение основного долга от последнего платежа, который закрывает весь оставшийся долг. Считаем суммы в тысячах рублей. Обозначим первоначальный кредит через $S$, остаток после равномерных уменьшений через $D$, число этих уменьшений через $n$, а один шаг через $d$. Тогда: $$S-nd=D,\qquad d=\frac{S-D}{n}.$$ Проценты начисляются перед каждым платежом. Перед первым начислением долг равен $S$, перед последним — $D$. Между ними каждый раз вычитается $d$: $$S,\quad S-d,\quad S-2d,\quad\ldots,\quad S-nd=D.$$ Здесь $n+1$ число: нумерация начинается с нулевого уменьшения. Сумма арифметической прогрессии — число членов, умноженное на полусумму первого и последнего: $$B=\frac{(n+1)(S+D)}2.$$ За весь срок вернут основной долг $S$ и проценты $r/100$ с базы $B$. Поэтому: $$T=S+\frac r{100}\cdot\frac{(n+1)(S+D)}2.$$ Конечный остаток и число уменьшений известны. Раскрываем скобки в базе процентов: $$B=\frac{11(S+300)}{2}=5{,}5S+1650.$$ Подставляем базу в уравнение всех выплат: $$1388=S+0{,}01(5{,}5S+1650)$$ $$1388=1{,}055S+16{,}5.$$ Переносим постоянную часть и делим на коэффициент при кредите: $$1{,}055S=1388-(16{,}5)=1371{,}5,$$ $$S=\frac{1371{,}5}{1{,}055}=1300.$$ Для проверки найдём шаг и перечислим начало и конец прогрессии: $$d=\frac{1300-300}{10}=100,$$ $$S-d=1300-100=1200,$$ $$S-10d=1300-1000=300.$$ Сумма выплат после подстановки: $$1300+0{,}01\cdot\frac{11(1300+300)}{2}=1300+88=1388.$$ Ответ: 1300000 рублей. Число равномерных уменьшений и полный срок — разные величины: последний отдельный платёж увеличивает срок ещё на один месяц.

Нужно найти наименьший первоначальный вклад. Считаем деньги в миллионах рублей. Обозначим начальную сумму через $P$. По условию $P$ — целое число. Каждый год вклад увеличивается на 10 %, поэтому умножается на $1+10/100=1{,}1$. Составим сумму по годам, соблюдая порядок: пополнение в начале года, проценты в конце. После первого и второго годов: $$A_1=1{,}1P,$$ $$A_2=1{,}1\cdot1{,}1P=1{,}21P.$$ В начале третьего года добавляем 3, затем начисляем проценты на всю сумму. Раскрываем скобки: $$A_3=(1{,}21P+3)\cdot1{,}1=1{,}331P+3{,}3.$$ В начале четвёртого года добавляем ещё 3 и опять умножаем весь вклад на 1,1: $$A_4=(1{,}331P+3{,}3+3)\cdot1{,}1$$ $$A_4=(1{,}331P+6{,}3)\cdot1{,}1=1{,}4641P+6{,}93.$$ Требуется строго больше 20 миллионов. Вычитаем 6,93 из обеих частей: $$1{,}4641P+6{,}93>20,$$ $$1{,}4641P>20-6{,}93=13{,}07.$$ Проверим целые значения рядом с границей. Умножение на положительный коэффициент сохраняет порядок: $$1{,}4641\cdot8=11{,}7128<13{,}07,$$ $$1{,}4641\cdot9=13{,}1769>13{,}07.$$ Значит, 8 миллионов и меньшие суммы не подходят; 9 миллионов уже подходят. Проверка полной суммы: $$1{,}4641\cdot9+6{,}93=13{,}1769+6{,}93=20{,}1069>20.$$ Ответ: 9 млн рублей.

Нужно отделить равномерное уменьшение основного долга от последнего платежа, который закрывает весь оставшийся долг. Считаем суммы в тысячах рублей. Обозначим первоначальный кредит через $S$, остаток после равномерных уменьшений через $D$, число этих уменьшений через $n$, а один шаг через $d$. Тогда: $$S-nd=D,\qquad d=\frac{S-D}{n}.$$ Проценты начисляются перед каждым платежом. Перед первым начислением долг равен $S$, перед последним — $D$. Между ними каждый раз вычитается $d$: $$S,\quad S-d,\quad S-2d,\quad\ldots,\quad S-nd=D.$$ Здесь $n+1$ число: нумерация начинается с нулевого уменьшения. Сумма арифметической прогрессии — число членов, умноженное на полусумму первого и последнего: $$B=\frac{(n+1)(S+D)}2.$$ За весь срок вернут основной долг $S$ и проценты $r/100$ с базы $B$. Поэтому: $$T=S+\frac r{100}\cdot\frac{(n+1)(S+D)}2.$$ Вычислим базу процентов и саму переплату: $$B=\frac{16(1100+500)}{2}=12800,$$ $$I=1228-1100=128.$$ Ставка определяется уравнением процентов. Умножаем на 100 и делим на базу: $$12800\cdot\frac r{100}=128,$$ $$r=\frac{12800}{12800}=1.$$ Для проверки найдём шаг и перечислим начало и конец прогрессии: $$d=\frac{1100-500}{15}=40,$$ $$S-d=1100-40=1060,$$ $$S-15d=1100-600=500.$$ Сумма выплат после подстановки: $$1100+0{,}01\cdot\frac{16(1100+500)}{2}=1100+128=1228.$$ Ответ: 1 %. Число равномерных уменьшений и полный срок — разные величины: последний отдельный платёж увеличивает срок ещё на один месяц.

Нужно разобраться в двух этапах погашения: первые пять лет долг уменьшается одним шагом, следующие пять — другим. Считаем суммы в тысячах рублей. Обозначим кредит через $S$, а остаток после пяти лет — через $D$. В первые пять лет надо уменьшить долг с $S$ до $D$. За каждый год основной долг уменьшается на: $$a=\frac{S-D}{5}.$$ В следующие пять лет надо уменьшить долг с $D$ до нуля. Поэтому второй шаг: $$b=\frac D5.$$ Чтобы найти все проценты, выпишем долги перед начислением. В первой пятилетке это: $$S,\quad S-a,\quad S-2a,\quad S-3a,\quad S-4a.$$ Сложим отдельно пять одинаковых слагаемых $S$ и коэффициенты при $a$: $$B_1=5S-(0+1+2+3+4)a=5S-10a.$$ Подставляем шаг первого этапа, сокращаем 10/5 и раскрываем скобки: $$B_1=5S-10\cdot\frac{S-D}{5}=5S-2(S-D)$$ $$B_1=5S-2S+2D=3S+2D.$$ Во второй пятилетке основной долг перед начислениями равен $5b,4b,3b,2b,b$. Их сумма: $$B_2=(5+4+3+2+1)b=15b=15\cdot\frac D5=3D.$$ Складываем обе базы процентов: $$B=B_1+B_2=3S+2D+3D=3S+5D.$$ За весь срок банк получает обратно сам кредит и проценты. По ставке $r$ % проценты равны $r/100$ от суммы всех остатков. Получаем: $$T=S+\frac r{100}(3S+5D).$$ Остаток $D$ и ставка известны. Подставляем их в уравнение, раскрываем скобки и собираем слагаемые с $S$: $$T=S+0{,}2(3S+5\cdot600)$$ $$T=S+0{,}6S+600=1{,}6S+600,$$ $$2360=1{,}6S+600,$$ Вычитаем постоянное слагаемое и делим на коэффициент при кредите: $$1{,}6S=2360-600=1760,$$ $$S=\frac{1760}{1{,}6}=1100.$$ Теперь вычислим два шага уменьшения: $$a=\frac{1100-600}{5}=\frac{500}{5}=100,$$ $$b=\frac{600}{5}=120.$$ Первый платёж состоит из процентов на весь кредит и первого уменьшения основного долга: $$P_1=\frac{20}{100}\cdot1100+100=220+100=320.$$ Перед последним годом остаётся один шаг второго этапа. Последний платёж погашает его вместе с процентами: $$P_{10}=120\left(1+\frac{20}{100}\right)=120\cdot1{,}2=144.$$ Проверка общей суммы процентов и выплат: $$1100+\frac{20}{100}\cdot6300=1100+1260=2360.$$ Ответ: 1100 тыс. рублей.

Нужно проследить, на какую сумму начисляются проценты в каждом году. Считаем деньги в тысячах рублей. Обозначим исходный кредит через $S$. Уменьшение «на определённый процент» означает, что остаётся прежний долг за вычетом этого процента. В этой задаче доля оставшегося долга: $$k=1-\frac{70}{100}=0{,}3.$$ После каждого из первых платежей умножаем предыдущий остаток на эту долю. Поэтому до начислений получаются следующие остатки: $$D_0=S.$$ $$D_1=1S\cdot 0{,}3=0{,}3S.$$ $$D_2=0{,}3S\cdot 0{,}3=0{,}09S.$$ Последний платёж погашает весь оставшийся долг. Всего основной долг возвращается один раз целиком. Всё сверх $S$ — проценты. Для их подсчёта сложим остатки перед начислениями: $$B=(1+0{,}3+0{,}09)S=1{,}39S.$$ Начисленные проценты и сумма выплат: $$I=\frac{20}{100}\cdot 1{,}39S=0{,}278S,$$ $$V=S+I=S+0{,}278S=1{,}278S.$$ По условию сумма выплат известна. Делим обе части уравнения на коэффициент: $$1{,}278S=11502,$$ $$S=\frac{11502}{1{,}278}=9000.$$ Проверим расчёт по отдельным платежам. Каждый платёж — долг после начисления процентов минус требуемый остаток после выплаты. $$P_1=9000\cdot 1{,}2-2700=10800-2700=8100.$$ $$P_2=2700\cdot 1{,}2-810=3240-810=2430.$$ $$P_3=810\cdot 1{,}2-0=972-0=972.$$ $$V=8100+2430+972=11502.$$ Ответ: 9000 тыс. рублей.

Нужно проследить, на какую сумму начисляются проценты в каждом году. Считаем деньги в тысячах рублей. Обозначим исходный кредит через $S$. Уменьшение «на определённый процент» означает, что остаётся прежний долг за вычетом этого процента. В этой задаче доля оставшегося долга: $$k=1-\frac{30}{100}=0{,}7.$$ После каждого из первых платежей умножаем предыдущий остаток на эту долю. Поэтому до начислений получаются следующие остатки: $$D_0=S.$$ $$D_1=1S\cdot 0{,}7=0{,}7S.$$ $$D_2=0{,}7S\cdot 0{,}7=0{,}49S.$$ Последний платёж погашает весь оставшийся долг. Всего основной долг возвращается один раз целиком. Всё сверх $S$ — проценты. Для их подсчёта сложим остатки перед начислениями: $$B=(1+0{,}7+0{,}49)S=2{,}19S.$$ Подставляем известные суммы, начисляем проценты и прибавляем возвращённый кредит: $$I=\frac{20}{100}\cdot 5475=1095,$$ $$V=2500+1095=3595.$$ Проверим расчёт по отдельным платежам. Каждый платёж — долг после начисления процентов минус требуемый остаток после выплаты. $$P_1=2500\cdot 1{,}2-1750=3000-1750=1250.$$ $$P_2=1750\cdot 1{,}2-1225=2100-1225=875.$$ $$P_3=1225\cdot 1{,}2-0=1470-0=1470.$$ $$V=1250+875+1470=3595.$$ Ответ: 3595 тыс. рублей.

Нужно подобрать наибольший целый кредит, при котором каждый платёж меньше установленной суммы. Все величины считаем в миллионах рублей. Используем остатки долга из таблицы, а не предполагаем равные платежи. При увеличении на 15 % долг умножается на: $$q=1+\frac{15}{100}=1{,}15.$$ Размер платежа — долг после начисления процентов минус остаток, который должен остаться по таблице. Вычисляем каждый платёж отдельно: $$P_1=1{,}15\cdot1S-0{,}8S=1{,}15S-0{,}8S=0{,}35S.$$ $$P_2=1{,}15\cdot0{,}8S-0{,}5S=0{,}92S-0{,}5S=0{,}42S.$$ $$P_3=1{,}15\cdot0{,}5S-0S=0{,}575S-0S=0{,}575S.$$ Сравниваем положительные коэффициенты. Самый большой платёж: $$P_{\max}=0{,}575S.$$ Если этот платёж меньше порога, остальные тем более меньше. Поэтому все ограничения сводятся к одному: $$0{,}575S<4,$$ Делим на положительный коэффициент: $$S<\frac{4}{0{,}575}=\frac{160}{23}.$$ По условию $S$ — целое число. Проверяем соседние целые значения у верхней границы: $$S=6:\quad P_{\max}=0{,}575\cdot6=3{,}45<4,$$ $$S=7:\quad P_{\max}=0{,}575\cdot7=4{,}025>4.$$ Увеличение кредита увеличивает все платежи, поэтому большие целые значения тоже не подойдут. Ответ: 6 млн рублей.

Нужно отделить равномерное уменьшение основного долга от последнего платежа, который закрывает весь оставшийся долг. Считаем суммы в тысячах рублей. Обозначим первоначальный кредит через $S$, остаток после равномерных уменьшений через $D$, число этих уменьшений через $n$, а один шаг через $d$. Тогда: $$S-nd=D,\qquad d=\frac{S-D}{n}.$$ Проценты начисляются перед каждым платежом. Перед первым начислением долг равен $S$, перед последним — $D$. Между ними каждый раз вычитается $d$: $$S,\quad S-d,\quad S-2d,\quad\ldots,\quad S-nd=D.$$ Здесь $n+1$ число: нумерация начинается с нулевого уменьшения. Сумма арифметической прогрессии — число членов, умноженное на полусумму первого и последнего: $$B=\frac{(n+1)(S+D)}2.$$ За весь срок вернут основной долг $S$ и проценты $r/100$ с базы $B$. Поэтому: $$T=S+\frac r{100}\cdot\frac{(n+1)(S+D)}2.$$ Сначала находим число равномерных уменьшений: $$n=\frac{1000-200}{40}=\frac{800}{40}=20.$$ Вычислим базу процентов и саму переплату: $$B=\frac{21(1000+200)}{2}=12600,$$ $$I=1378-1000=378.$$ Ставка определяется уравнением процентов. Умножаем на 100 и делим на базу: $$12600\cdot\frac r{100}=378,$$ $$r=\frac{37800}{12600}=3.$$ Для проверки найдём шаг и перечислим начало и конец прогрессии: $$d=\frac{1000-200}{20}=40,$$ $$S-d=1000-40=960,$$ $$S-20d=1000-800=200.$$ Сумма выплат после подстановки: $$1000+0{,}03\cdot\frac{21(1000+200)}{2}=1000+378=1378.$$ Ответ: 3 %. Число равномерных уменьшений и полный срок — разные величины: последний отдельный платёж увеличивает срок ещё на один месяц.

Нужно проследить, на какую сумму начисляются проценты в каждом году. Считаем деньги в тысячах рублей. Обозначим исходный кредит через $S$. Уменьшение «на определённый процент» означает, что остаётся прежний долг за вычетом этого процента. В этой задаче доля оставшегося долга: $$k=1-\frac{20}{100}=0{,}8.$$ После каждого из первых платежей умножаем предыдущий остаток на эту долю. Поэтому до начислений получаются следующие остатки: $$D_0=S.$$ $$D_1=1S\cdot 0{,}8=0{,}8S.$$ $$D_2=0{,}8S\cdot 0{,}8=0{,}64S.$$ $$D_3=0{,}64S\cdot 0{,}8=0{,}512S.$$ Последний платёж погашает весь оставшийся долг. Всего основной долг возвращается один раз целиком. Всё сверх $S$ — проценты. Для их подсчёта сложим остатки перед начислениями: $$B=(1+0{,}8+0{,}64+0{,}512)S=2{,}952S.$$ Начисленные проценты и сумма выплат: $$I=\frac{20}{100}\cdot 2{,}952S=0{,}5904S,$$ $$V=S+I=S+0{,}5904S=1{,}5904S.$$ По условию сумма выплат известна. Делим обе части уравнения на коэффициент: $$1{,}5904S=47712,$$ $$S=\frac{47712}{1{,}5904}=30000.$$ Проверим расчёт по отдельным платежам. Каждый платёж — долг после начисления процентов минус требуемый остаток после выплаты. $$P_1=30000\cdot 1{,}2-24000=36000-24000=12000.$$ $$P_2=24000\cdot 1{,}2-19200=28800-19200=9600.$$ $$P_3=19200\cdot 1{,}2-15360=23040-15360=7680.$$ $$P_4=15360\cdot 1{,}2-0=18432-0=18432.$$ $$V=12000+9600+7680+18432=47712.$$ Ответ: 30000 тыс. рублей.

Нужно найти ставку начисления процентов по двум известным платежам. Считаем суммы в тысячах рублей. Обозначим множитель увеличения долга через $q$: $$q=1+\frac r{100}>0.$$ После первого начисления долг равен $200q$. После первого платежа 130 остаётся: $$D_1=200q-130.$$ Во втором году на весь остаток снова начисляются проценты. Второй платёж 150 закрывает его полностью: $$(200q-130)q=150.$$ Раскрываем скобки, затем переносим 150 в левую часть: $$200q^2-130q=150,$$ $$200q^2-130q-150=0.$$ Делим каждый член уравнения на 10: $$20q^2-13q-15=0.$$ Решим квадратное уравнение по формуле. Коэффициенты $A=20$, $B=-13$, $C=-15$. Дискриминант: $$D=B^2-4AC=(-13)^2-4\cdot20\cdot(-15)$$ $$D=169+1200=1369=37^2.$$ Подставляем в формулу корней: $$q=\frac{-B\pm\sqrt D}{2A}=\frac{13\pm37}{40}.$$ Отдельно вычисляем два корня: $$q_1=\frac{13+37}{40}=\frac{50}{40}=1{,}25,$$ $$q_2=\frac{13-37}{40}=\frac{-24}{40}=-0{,}6.$$ Отрицательный множитель долга невозможен, поэтому второй корень исключаем. Возвращаемся к процентной ставке: $$1+\frac r{100}=1{,}25,$$ $$\frac r{100}=1{,}25-1=0{,}25,$$ $$r=0{,}25\cdot100=25.$$ Проверяем оба года: $$200\cdot1{,}25-130=250-130=120,$$ $$120\cdot1{,}25-150=150-150=0.$$ Ответ: 25 %.

Здесь первые три года долг не уменьшается, а затем закрывается за два года. Рассмотрим эти этапы отдельно. Все суммы — в тысячах рублей. Обозначим исходный кредит через $S$. Ежегодный множитель начисления процентов: $$q=1+\frac{30}{100}=1{,}3.$$ В первые три года после платежа опять должен остаться долг $S$. Значит, платёж покрывает только прибавившиеся проценты. Каждый из первых трёх платежей равен: $$P_{\text{перв}}=1{,}3S-S=(1{,}3-1)S=0{,}3S.$$ За эти три года вместе выплачивают: $$3P_{\text{перв}}=3\cdot0{,}3S=0{,}9S.$$ Обозначим два последних равных платежа через $P$. Перед ними основной долг всё ещё равен $S$. После четвёртого платежа остаток: $$D_4=1{,}3S-P.$$ В пятом году на весь этот остаток начислят проценты, затем вычтут ещё $P$. Долг погасится полностью: $$1{,}3(1{,}3S-P)-P=0.$$ Раскрываем скобки и объединяем два слагаемых с платежом: $$1{,}69S-1{,}3P-P=0,$$ $$1{,}69S-(1{,}3+1)P=0,$$ $$1{,}69S=2{,}3P.$$ Делим на положительное число 2,3: $$P=\frac{1{,}69}{2{,}3}S=\frac{169}{230}S.$$ Два последних платежа известны. Подставляем один из них в полученное равенство и находим кредит: $$1{,}69S=2{,}3\cdot338=777{,}4,$$ $$S=\frac{777{,}4}{1{,}69}=460.$$ Теперь вычисляем один из первых платежей: $$P_{\text{перв}}=0{,}3\cdot460=138.$$ Складываем три первых и два последних платежа: $$V=3\cdot138+2\cdot338=414+676=1090.$$ Ответ: 1090 тыс. рублей. Проверка двух последних лет: $$460\cdot1{,}3-338=260,$$ $$260\cdot1{,}3-338=0.$$

Здесь первые три года долг не уменьшается, а затем закрывается за два года. Рассмотрим эти этапы отдельно. Все суммы — в тысячах рублей. Обозначим исходный кредит через $S$. Ежегодный множитель начисления процентов: $$q=1+\frac{10}{100}=1{,}1.$$ В первые три года после платежа опять должен остаться долг $S$. Значит, платёж покрывает только прибавившиеся проценты. Каждый из первых трёх платежей равен: $$P_{\text{перв}}=1{,}1S-S=(1{,}1-1)S=0{,}1S.$$ За эти три года вместе выплачивают: $$3P_{\text{перв}}=3\cdot0{,}1S=0{,}3S.$$ Обозначим два последних равных платежа через $P$. Перед ними основной долг всё ещё равен $S$. После четвёртого платежа остаток: $$D_4=1{,}1S-P.$$ В пятом году на весь этот остаток начислят проценты, затем вычтут ещё $P$. Долг погасится полностью: $$1{,}1(1{,}1S-P)-P=0.$$ Раскрываем скобки и объединяем два слагаемых с платежом: $$1{,}21S-1{,}1P-P=0,$$ $$1{,}21S-(1{,}1+1)P=0,$$ $$1{,}21S=2{,}1P.$$ Делим на положительное число 2,1: $$P=\frac{1{,}21}{2{,}1}S=\frac{121}{210}S.$$ Кредит известен. Подставляем его для расчёта последнего платежа: $$P=\frac{1{,}21\cdot1050}{2{,}1}=\frac{1270{,}5}{2{,}1}=605.$$ Теперь вычисляем один из первых платежей: $$P_{\text{перв}}=0{,}1\cdot1050=105.$$ Спрашивается, на сколько последний платёж больше первого. Вычитаем и переводим в рубли: $$605-105=500,$$ $$500\cdot1000=500000.$$ Ответ: 500000 рублей. Проверка двух последних лет: $$1050\cdot1{,}1-605=550,$$ $$550\cdot1{,}1-605=0.$$

Считаем деньги в тысячах рублей. Обозначим одинаковые первые два платежа через $P$, последний платёж через $R$. Чтобы связать эти платежи, последовательно запишем остаток долга за каждый год. Долг после начисления процентов умножается на коэффициент: $$q=1+\frac{30}{100}=1{,}3.$$ После первого года: $$D_1=1{,}3\cdot900-P=1170-P.$$ После второго года сначала начисляем проценты на весь предыдущий остаток, затем вычитаем второй такой же платёж. Раскрываем скобки: $$D_2=1{,}3(1170-P)-P$$ $$D_2=1521-1{,}3P-P=1521-2{,}3P.$$ После третьего платежа остаток равен нулю: $$1{,}3(1521-2{,}3P)-R=0,$$ Раскрываем скобки и выражаем последний платёж: $$1977{,}3-2{,}99P-R=0,$$ $$R=1977{,}3-2{,}99P.$$ Известна сумма всех трёх выплат. Первые два платежа вместе равны $2P$, поэтому: $$2P+R=1482{,}3.$$ Подставляем найденное выражение для $R$ и собираем слагаемые с $P$: $$2P+1977{,}3-2{,}99P=1482{,}3,$$ $$1977{,}3-0{,}99P=1482{,}3,$$ Прибавляем положительное слагаемое с $P$ и вычитаем общую сумму выплат: $$0{,}99P=1977{,}3-1482{,}3=495,$$ $$P=\frac{495}{0{,}99}=500.$$ Последний платёж — общая сумма минус два первых платежа: $$R=1482{,}3-2\cdot500=1482{,}3-1000=482{,}3.$$ Проверка по годам: $$900\cdot1{,}3-500=1170-500=670,$$ $$670\cdot1{,}3-500=871-500=371,$$ $$371\cdot1{,}3-482{,}3=0.$$ Находим именно запрошенную сумму и переводим тысячи рублей в рубли: $$482{,}3\cdot1000=482300.$$ Ответ: 482300 рублей.