В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на три года в размере 2500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
$—$ в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на 30 % меньше долга на июль предыдущего года;
$—$ к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.
Сколько тыс. рублей составит сумма всех платежей после полного погашения кредита?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $3595$ тыс. рублей.
Решение
Нужно проследить, на какую сумму начисляются проценты в каждом году. Считаем деньги в тысячах рублей. Обозначим исходный кредит через $S$.
Уменьшение «на определённый процент» означает, что остаётся прежний долг за вычетом этого процента. В этой задаче доля оставшегося долга:
$$k=1-\frac{30}{100}=0{,}7.$$
После каждого из первых платежей умножаем предыдущий остаток на эту долю. Поэтому до начислений получаются следующие остатки:
$$D_0=S.$$
$$D_1=1S\cdot 0{,}7=0{,}7S.$$
$$D_2=0{,}7S\cdot 0{,}7=0{,}49S.$$
Последний платёж погашает весь оставшийся долг. Всего основной долг возвращается один раз целиком. Всё сверх $S$ — проценты. Для их подсчёта сложим остатки перед начислениями:
$$B=(1+0{,}7+0{,}49)S=2{,}19S.$$
Подставляем известные суммы, начисляем проценты и прибавляем возвращённый кредит:
$$I=\frac{20}{100}\cdot 5475=1095,$$
$$V=2500+1095=3595.$$
Проверим расчёт по отдельным платежам. Каждый платёж — долг после начисления процентов минус требуемый остаток после выплаты.
$$P_1=2500\cdot 1{,}2-1750=3000-1750=1250.$$
$$P_2=1750\cdot 1{,}2-1225=2100-1225=875.$$
$$P_3=1225\cdot 1{,}2-0=1470-0=1470.$$
$$V=1250+875+1470=3595.$$
Ответ: 3595 тыс. рублей.