В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей;
— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $500000$ рублей.
Решение
Здесь первые три года долг не уменьшается, а затем закрывается за два года. Рассмотрим эти этапы отдельно. Все суммы — в тысячах рублей.
Обозначим исходный кредит через $S$. Ежегодный множитель начисления процентов:
$$q=1+\frac{10}{100}=1{,}1.$$
В первые три года после платежа опять должен остаться долг $S$. Значит, платёж покрывает только прибавившиеся проценты. Каждый из первых трёх платежей равен:
$$P_{\text{перв}}=1{,}1S-S=(1{,}1-1)S=0{,}1S.$$
За эти три года вместе выплачивают:
$$3P_{\text{перв}}=3\cdot0{,}1S=0{,}3S.$$
Обозначим два последних равных платежа через $P$. Перед ними основной долг всё ещё равен $S$. После четвёртого платежа остаток:
$$D_4=1{,}1S-P.$$
В пятом году на весь этот остаток начислят проценты, затем вычтут ещё $P$. Долг погасится полностью:
$$1{,}1(1{,}1S-P)-P=0.$$
Раскрываем скобки и объединяем два слагаемых с платежом:
$$1{,}21S-1{,}1P-P=0,$$
$$1{,}21S-(1{,}1+1)P=0,$$
$$1{,}21S=2{,}1P.$$
Делим на положительное число 2,1:
$$P=\frac{1{,}21}{2{,}1}S=\frac{121}{210}S.$$
Кредит известен. Подставляем его для расчёта последнего платежа:
$$P=\frac{1{,}21\cdot1050}{2{,}1}=\frac{1270{,}5}{2{,}1}=605.$$
Теперь вычисляем один из первых платежей:
$$P_{\text{перв}}=0{,}1\cdot1050=105.$$
Спрашивается, на сколько последний платёж больше первого. Вычитаем и переводим в рубли:
$$605-105=500,$$
$$500\cdot1000=500000.$$
Ответ: 500000 рублей.
Проверка двух последних лет:
$$1050\cdot1{,}1-605=550,$$
$$550\cdot1{,}1-605=0.$$