15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 тысяч рублей
на $(n+1)$ месяц. Условия его возврата таковы:
$—$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
$—$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
$—$ 15-го числа каждого месяца с 1-го по $n$ -й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
$—$ 15-го числа $n$ -го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
$—$ к 15-му числу $(n+1)$ -го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите $n$, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 852 тысячи рублей.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $20$.
Решение
Нужно отделить равномерное уменьшение основного долга от последнего платежа, который закрывает весь оставшийся долг. Считаем суммы в тысячах рублей.
Обозначим первоначальный кредит через $S$, остаток после равномерных уменьшений через $D$, число этих уменьшений через $n$, а один шаг через $d$. Тогда:
$$S-nd=D,\qquad d=\frac{S-D}{n}.$$
Проценты начисляются перед каждым платежом. Перед первым начислением долг равен $S$, перед последним — $D$. Между ними каждый раз вычитается $d$:
$$S,\quad S-d,\quad S-2d,\quad\ldots,\quad S-nd=D.$$
Здесь $n+1$ число: нумерация начинается с нулевого уменьшения. Сумма арифметической прогрессии — число членов, умноженное на полусумму первого и последнего:
$$B=\frac{(n+1)(S+D)}2.$$
За весь срок вернут основной долг $S$ и проценты $r/100$ с базы $B$. Поэтому:
$$T=S+\frac r{100}\cdot\frac{(n+1)(S+D)}2.$$
Подставляем известные суммы и ставку:
$$852=600+0{,}03\cdot\frac{(n+1)(600+200)}{2}$$
$$852=600+12(n+1).$$
Вычитаем кредит и делим на коэффициент:
$$252=12(n+1),$$
$$n+1=\frac{252}{12}=21,$$
$$n=21-1=20.$$
Для проверки найдём шаг и перечислим начало и конец прогрессии:
$$d=\frac{600-200}{20}=20,$$
$$S-d=600-20=580,$$
$$S-20d=600-400=200.$$
Сумма выплат после подстановки:
$$600+0{,}03\cdot\frac{21(600+200)}{2}=600+252=852.$$
Ответ: 20.
Число равномерных уменьшений и полный срок — разные величины: последний отдельный платёж увеличивает срок ещё на один месяц.