В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг возрастает на $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
$—$ в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 6,6 млн рублей;
$—$ суммы выплат в 2030 и 2031 годах равны.
Найдите $r,$ если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 12,6 млн рублей.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $20$ %.
Решение
Нужно найти процентную ставку. Все суммы считаем в миллионах рублей. Пусть $q=1+r/100>0$ — множитель одного начисления.
Первые три года после платежа основной долг снова равен 6,6. Каждый из первых платежей возвращает только начисленные проценты:
$$P_1=6{,}6q-6{,}6=6{,}6(q-1).$$
Два последних платежа обозначим через $P$. После четвёртого года остаток $6{,}6q-P$, после пятого он должен обратиться в нуль:
$$(6{,}6q-P)q-P=0,$$
$$6{,}6q^2-qP-P=0,$$
$$(q+1)P=6{,}6q^2,$$
$$P=\frac{6{,}6q^2}{q+1}.$$
Общая выплата состоит из трёх первых и двух последних платежей. По условию это 12,6:
$$3\cdot6{,}6(q-1)+2\cdot\frac{6{,}6q^2}{q+1}=12{,}6,$$
$$19{,}8(q-1)+\frac{13{,}2q^2}{q+1}=12{,}6.$$
Делим все коэффициенты на 0,6, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$$33(q-1)+\frac{22q^2}{q+1}=21.$$
Умножаем на положительное число $q+1$, раскрываем произведение разности и суммы:
$$33(q-1)(q+1)+22q^2=21(q+1),$$
$$33(q^2-1)+22q^2=21q+21,$$
$$33q^2-33+22q^2-21q-21=0,$$
$$55q^2-21q-54=0.$$
Вычисляем дискриминант:
$$D=(-21)^2-4\cdot55\cdot(-54)=441+11880=12321=111^2.$$
По формуле корней:
$$q=\frac{21\pm111}{110},$$
$$q_1=\frac{132}{110}=\frac65=1{,}2,\qquad q_2=\frac{-90}{110}=-\frac9{11}.$$
Отрицательный множитель исключаем. Из положительного корня находим ставку:
$$r=100(q-1)=100(1{,}2-1)=20.$$
Проверяем размеры платежей:
$$P_1=6{,}6\cdot0{,}2=1{,}32,$$
$$P=\frac{6{,}6\cdot1{,}44}{2{,}2}=\frac{9{,}504}{2{,}2}=4{,}32,$$
$$3\cdot1{,}32+2\cdot4{,}32=3{,}96+8{,}64=12{,}6.$$
Ответ: 20 %.