15 января планируется взять кредит в банке на 4 месяца. Условия его возврата таковы:
$—$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
$—$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом выплатить часть долга;
$—$ 15-го числа каждого месяца долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Дата
15.01
15.02
15.03
15.04
15.05
Долг (в процентах от кредита)
100 %
80 %
60 %
40 %
0 %
Найдите наименьшее значение $r,$ при котором сумма всех платежей будет превышать кредит больше чем на 30 %.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $11$ %.
Решение
Нужно найти наименьшую целую месячную ставку, при которой переплата строго больше 30 % кредита. Обозначим сам кредит через $S>0$. Ставка $r$ в этой задаче действительно должна быть целым числом — это сказано в условии.
Из таблицы видим остатки перед четырьмя начислениями. Переводим проценты долга в доли:
$$100\%=1,\quad80\%=0{,}8,\quad60\%=0{,}6,\quad40\%=0{,}4.$$
Поэтому проценты начислят на суммы:
$$S,\quad0{,}8S,\quad0{,}6S,\quad0{,}4S.$$
Сам кредит вернут целиком. Переплата — это только начисленные проценты. Сложим их:
$$I=\frac r{100}(S+0{,}8S+0{,}6S+0{,}4S).$$
Складываем коэффициенты по шагам:
$$1+0{,}8=1{,}8,\quad1{,}8+0{,}6=2{,}4,\quad2{,}4+0{,}4=2{,}8.$$
$$I=\frac r{100}\cdot2{,}8S=0{,}028rS.$$
Тридцать процентов кредита — $0{,}3S$. Требование «больше чем на 30 %» даёт строгое неравенство:
$$0{,}028rS>0{,}3S.$$
Делим на положительный кредит $S$, затем на 0,028:
$$0{,}028r>0{,}3,$$
$$r>\frac{0{,}3}{0{,}028}=\frac{300}{28}=\frac{75}{7}=10\frac57.$$
Наименьшее целое число строго больше этой границы — 11. Проверяем его и предыдущее целое:
$$r=11:\quad I=0{,}028\cdot11S=0{,}308S>0{,}3S,$$
$$r=10:\quad I=0{,}028\cdot10S=0{,}28S<0{,}3S.$$
Ответ: 11 %.