В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года
в размере $S$ млн рублей, где $S$ $—$ целое число. Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг увеличивается на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
$—$ в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии
со следующей таблицей.
Месяц и год
Июль 2016
Июль 2017
Июль 2018
Июль 2019
Долг
(в млн рублей)
$S$
$0,6S$
$0,25S$
0
Найдите наибольшее значение $S$, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн рублей.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $7$.
Решение
Нужно подобрать наибольший целый кредит, при котором каждый платёж меньше установленной суммы. Все величины считаем в миллионах рублей. Используем остатки долга из таблицы, а не предполагаем равные платежи.
При увеличении на 30 % долг умножается на:
$$q=1+\frac{30}{100}=1{,}3.$$
Размер платежа — долг после начисления процентов минус остаток, который должен остаться по таблице. Вычисляем каждый платёж отдельно:
$$P_1=1{,}3\cdot1S-0{,}6S=1{,}3S-0{,}6S=0{,}7S.$$
$$P_2=1{,}3\cdot0{,}6S-0{,}25S=0{,}78S-0{,}25S=0{,}53S.$$
$$P_3=1{,}3\cdot0{,}25S-0S=0{,}325S-0S=0{,}325S.$$
Сравниваем положительные коэффициенты. Самый большой платёж:
$$P_{\max}=0{,}7S.$$
Если этот платёж меньше порога, остальные тем более меньше. Поэтому все ограничения сводятся к одному:
$$0{,}7S<5,$$
Делим на положительный коэффициент:
$$S<\frac{5}{0{,}7}=\frac{50}{7}.$$
По условию $S$ — целое число. Проверяем соседние целые значения у верхней границы:
$$S=7:\quad P_{\max}=0{,}7\cdot7=4{,}9<5,$$
$$S=8:\quad P_{\max}=0{,}7\cdot8=5{,}6>5.$$
Увеличение кредита увеличивает все платежи, поэтому большие целые значения тоже не подойдут. Ответ: 7 млн рублей.