В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере
800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на $r$ % по сравнению с концом предыдущего года ($r$ — целое число);
— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2030 года долг должен составить 200 тыс. рублей;
— в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите $r$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $20$ %.
Решение
Нужно разобраться в двух этапах погашения: первые пять лет долг уменьшается одним шагом, следующие пять — другим. Считаем суммы в тысячах рублей. Обозначим кредит через $S$, а остаток после пяти лет — через $D$.
В первые пять лет надо уменьшить долг с $S$ до $D$. За каждый год основной долг уменьшается на:
$$a=\frac{S-D}{5}.$$
В следующие пять лет надо уменьшить долг с $D$ до нуля. Поэтому второй шаг:
$$b=\frac D5.$$
Чтобы найти все проценты, выпишем долги перед начислением. В первой пятилетке это:
$$S,\quad S-a,\quad S-2a,\quad S-3a,\quad S-4a.$$
Сложим отдельно пять одинаковых слагаемых $S$ и коэффициенты при $a$:
$$B_1=5S-(0+1+2+3+4)a=5S-10a.$$
Подставляем шаг первого этапа, сокращаем 10/5 и раскрываем скобки:
$$B_1=5S-10\cdot\frac{S-D}{5}=5S-2(S-D)$$
$$B_1=5S-2S+2D=3S+2D.$$
Во второй пятилетке основной долг перед начислениями равен $5b,4b,3b,2b,b$. Их сумма:
$$B_2=(5+4+3+2+1)b=15b=15\cdot\frac D5=3D.$$
Складываем обе базы процентов:
$$B=B_1+B_2=3S+2D+3D=3S+5D.$$
За весь срок банк получает обратно сам кредит и проценты. По ставке $r$ % проценты равны $r/100$ от суммы всех остатков. Получаем:
$$T=S+\frac r{100}(3S+5D).$$
Оба долга известны. Вычисляем сумму остатков и переплату:
$$B=3\cdot800+5\cdot200=2400+1000=3400,$$
$$I=1480-800=680.$$
Ставка находится из уравнения процентов. Умножаем на 100 и делим на базу:
$$3400\cdot\frac r{100}=680,$$
$$r=\frac{68000}{3400}=20.$$
Теперь вычислим два шага уменьшения:
$$a=\frac{800-200}{5}=\frac{600}{5}=120,$$
$$b=\frac{200}{5}=40.$$
Первый платёж состоит из процентов на весь кредит и первого уменьшения основного долга:
$$P_1=\frac{20}{100}\cdot800+120=160+120=280.$$
Перед последним годом остаётся один шаг второго этапа. Последний платёж погашает его вместе с процентами:
$$P_{10}=40\left(1+\frac{20}{100}\right)=40\cdot1{,}2=48.$$
Проверка общей суммы процентов и выплат:
$$800+\frac{20}{100}\cdot3400=800+680=1480.$$
Ответ: 20 %.