В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
$—$ платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 300 тыс. рублей;
$—$ к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в 2029 году будет равен 417,6 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $700$ тыс. рублей.
Решение
Нужно восстановить первоначальный кредит. Считаем суммы в тысячах рублей. Удобно двигаться от последнего платежа назад: если при движении вперёд долг умножали на коэффициент и вычитали платёж, при движении назад сначала прибавляем платёж, затем делим на коэффициент.
Коэффициент начисления процентов:
$$q=1+\frac{20}{100}=1{,}2.$$
После последнего платежа долг равен нулю. Значит, до этого платежа, уже с начисленными процентами, долг равен самому платежу. Чтобы убрать последнее начисление, делим на коэффициент:
$$D_2=\frac{417{,}6}{1{,}2}=348.$$
Это остаток после второго платежа. Прибавляем второй платёж, восстанавливая сумму до его вычитания:
$$348+300=648.$$
Теперь убираем начисление процентов второго года:
$$D_1=\frac{648}{1{,}2}=540.$$
Перед первым платежом долг был больше остатка на величину этого платежа:
$$540+300=840.$$
Убираем первое начисление процентов и получаем исходный кредит:
$$S=\frac{840}{1{,}2}=700.$$
Проверим в прямом порядке:
$$700\cdot1{,}2-300=840-300=540,$$
$$540\cdot1{,}2-300=648-300=348,$$
$$348\cdot1{,}2-417{,}6=417{,}6-417{,}6=0.$$
Ответ: 700 тыс. рублей.