15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:
$—$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
$—$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
$—$ 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
$—$ 15-го числа 10-го месяца долг составит 300 тысяч рублей;
$—$ к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1388 тысяч рублей?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $1300000$ рублей.
Решение
Нужно отделить равномерное уменьшение основного долга от последнего платежа, который закрывает весь оставшийся долг. Считаем суммы в тысячах рублей.
Обозначим первоначальный кредит через $S$, остаток после равномерных уменьшений через $D$, число этих уменьшений через $n$, а один шаг через $d$. Тогда:
$$S-nd=D,\qquad d=\frac{S-D}{n}.$$
Проценты начисляются перед каждым платежом. Перед первым начислением долг равен $S$, перед последним — $D$. Между ними каждый раз вычитается $d$:
$$S,\quad S-d,\quad S-2d,\quad\ldots,\quad S-nd=D.$$
Здесь $n+1$ число: нумерация начинается с нулевого уменьшения. Сумма арифметической прогрессии — число членов, умноженное на полусумму первого и последнего:
$$B=\frac{(n+1)(S+D)}2.$$
За весь срок вернут основной долг $S$ и проценты $r/100$ с базы $B$. Поэтому:
$$T=S+\frac r{100}\cdot\frac{(n+1)(S+D)}2.$$
Конечный остаток и число уменьшений известны. Раскрываем скобки в базе процентов:
$$B=\frac{11(S+300)}{2}=5{,}5S+1650.$$
Подставляем базу в уравнение всех выплат:
$$1388=S+0{,}01(5{,}5S+1650)$$
$$1388=1{,}055S+16{,}5.$$
Переносим постоянную часть и делим на коэффициент при кредите:
$$1{,}055S=1388-(16{,}5)=1371{,}5,$$
$$S=\frac{1371{,}5}{1{,}055}=1300.$$
Для проверки найдём шаг и перечислим начало и конец прогрессии:
$$d=\frac{1300-300}{10}=100,$$
$$S-d=1300-100=1200,$$
$$S-10d=1300-1000=300.$$
Сумма выплат после подстановки:
$$1300+0{,}01\cdot\frac{11(1300+300)}{2}=1300+88=1388.$$
Ответ: 1300000 рублей.
Число равномерных уменьшений и полный срок — разные величины: последний отдельный платёж увеличивает срок ещё на один месяц.