В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года
в размере $S$ млн рублей, где $S$ $—$ целое число. Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг увеличивается на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
$—$ в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии
со следующей таблицей.
Месяц и год
Июль 2016
Июль 2017
Июль 2018
Июль 2019
Долг
(в млн рублей)
$S$
$0,8S$
$0,5S$
0
Найдите наибольшее значение $S$, при котором каждая из выплат будет меньше 4 млн рублей.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $6$.
Решение
Нужно подобрать наибольший целый кредит, при котором каждый платёж меньше установленной суммы. Все величины считаем в миллионах рублей. Используем остатки долга из таблицы, а не предполагаем равные платежи.
При увеличении на 15 % долг умножается на:
$$q=1+\frac{15}{100}=1{,}15.$$
Размер платежа — долг после начисления процентов минус остаток, который должен остаться по таблице. Вычисляем каждый платёж отдельно:
$$P_1=1{,}15\cdot1S-0{,}8S=1{,}15S-0{,}8S=0{,}35S.$$
$$P_2=1{,}15\cdot0{,}8S-0{,}5S=0{,}92S-0{,}5S=0{,}42S.$$
$$P_3=1{,}15\cdot0{,}5S-0S=0{,}575S-0S=0{,}575S.$$
Сравниваем положительные коэффициенты. Самый большой платёж:
$$P_{\max}=0{,}575S.$$
Если этот платёж меньше порога, остальные тем более меньше. Поэтому все ограничения сводятся к одному:
$$0{,}575S<4,$$
Делим на положительный коэффициент:
$$S<\frac{4}{0{,}575}=\frac{160}{23}.$$
По условию $S$ — целое число. Проверяем соседние целые значения у верхней границы:
$$S=6:\quad P_{\max}=0{,}575\cdot6=3{,}45<4,$$
$$S=7:\quad P_{\max}=0{,}575\cdot7=4{,}025>4.$$
Увеличение кредита увеличивает все платежи, поэтому большие целые значения тоже не подойдут. Ответ: 6 млн рублей.