В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 900 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг будет возрастать на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
$—$ платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными;
$—$ к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1482,3 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2029 года?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $482300$.
Решение
Считаем деньги в тысячах рублей. Обозначим одинаковые первые два платежа через $P$, последний платёж через $R$. Чтобы связать эти платежи, последовательно запишем остаток долга за каждый год.
Долг после начисления процентов умножается на коэффициент:
$$q=1+\frac{30}{100}=1{,}3.$$
После первого года:
$$D_1=1{,}3\cdot900-P=1170-P.$$
После второго года сначала начисляем проценты на весь предыдущий остаток, затем вычитаем второй такой же платёж. Раскрываем скобки:
$$D_2=1{,}3(1170-P)-P$$
$$D_2=1521-1{,}3P-P=1521-2{,}3P.$$
После третьего платежа остаток равен нулю:
$$1{,}3(1521-2{,}3P)-R=0,$$
Раскрываем скобки и выражаем последний платёж:
$$1977{,}3-2{,}99P-R=0,$$
$$R=1977{,}3-2{,}99P.$$
Известна сумма всех трёх выплат. Первые два платежа вместе равны $2P$, поэтому:
$$2P+R=1482{,}3.$$
Подставляем найденное выражение для $R$ и собираем слагаемые с $P$:
$$2P+1977{,}3-2{,}99P=1482{,}3,$$
$$1977{,}3-0{,}99P=1482{,}3,$$
Прибавляем положительное слагаемое с $P$ и вычитаем общую сумму выплат:
$$0{,}99P=1977{,}3-1482{,}3=495,$$
$$P=\frac{495}{0{,}99}=500.$$
Последний платёж — общая сумма минус два первых платежа:
$$R=1482{,}3-2\cdot500=1482{,}3-1000=482{,}3.$$
Проверка по годам:
$$900\cdot1{,}3-500=1170-500=670,$$
$$670\cdot1{,}3-500=871-500=371,$$
$$371\cdot1{,}3-482{,}3=0.$$
Находим именно запрошенную сумму и переводим тысячи рублей в рубли:
$$482{,}3\cdot1000=482300.$$
Ответ: 482300 рублей.