В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на четыре года в размере 40 млн рублей. Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг увеличивается на $r$ % по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
$—$ в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 25 % меньше долга на июль предыдущего года;
$—$ к июлю 2032 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 61 875 тыс. рублей. Найдите $r.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $20$ %.
Решение
Нужно проследить, на какую сумму начисляются проценты в каждом году. Считаем деньги в тысячах рублей. Обозначим исходный кредит через $S$.
Уменьшение «на определённый процент» означает, что остаётся прежний долг за вычетом этого процента. В этой задаче доля оставшегося долга:
$$k=1-\frac{25}{100}=0{,}75.$$
После каждого из первых платежей умножаем предыдущий остаток на эту долю. Поэтому до начислений получаются следующие остатки:
$$D_0=S.$$
$$D_1=1S\cdot 0{,}75=0{,}75S.$$
$$D_2=0{,}75S\cdot 0{,}75=0{,}5625S.$$
$$D_3=0{,}5625S\cdot 0{,}75=0{,}421875S.$$
Последний платёж погашает весь оставшийся долг. Всего основной долг возвращается один раз целиком. Всё сверх $S$ — проценты. Для их подсчёта сложим остатки перед начислениями:
$$B=(1+0{,}75+0{,}5625+0{,}421875)S=2{,}734375S.$$
Кредит известен. Подставляем его в сумму остатков:
$$B=2{,}734375\cdot 40000=109375.$$
Вычитаем кредит из общей выплаты, получая сумму процентов:
$$I=61875-40000=21875.$$
Составляем уравнение для ставки. Умножаем на 100, затем делим на сумму остатков:
$$109375\cdot\frac r{100}=21875,$$
$$109375r=2187500,$$
$$r=\frac{2187500}{109375}=20.$$
Проверим расчёт по отдельным платежам. Каждый платёж — долг после начисления процентов минус требуемый остаток после выплаты.
$$P_1=40000\cdot 1{,}2-30000=48000-30000=18000.$$
$$P_2=30000\cdot 1{,}2-22500=36000-22500=13500.$$
$$P_3=22500\cdot 1{,}2-16875=27000-16875=10125.$$
$$P_4=16875\cdot 1{,}2-0=20250-0=20250.$$
$$V=18000+13500+10125+20250=61875.$$
Ответ: 20 %.