В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
$—$ платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными;
$—$ к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1254,4 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2027 года?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $200000$ рублей.
Решение
Считаем деньги в тысячах рублей. Обозначим одинаковые первые два платежа через $P$, последний платёж через $R$. Чтобы связать эти платежи, последовательно запишем остаток долга за каждый год.
Долг после начисления процентов умножается на коэффициент:
$$q=1+\frac{20}{100}=1{,}2.$$
После первого года:
$$D_1=1{,}2\cdot800-P=960-P.$$
После второго года сначала начисляем проценты на весь предыдущий остаток, затем вычитаем второй такой же платёж. Раскрываем скобки:
$$D_2=1{,}2(960-P)-P$$
$$D_2=1152-1{,}2P-P=1152-2{,}2P.$$
После третьего платежа остаток равен нулю:
$$1{,}2(1152-2{,}2P)-R=0,$$
Раскрываем скобки и выражаем последний платёж:
$$1382{,}4-2{,}64P-R=0,$$
$$R=1382{,}4-2{,}64P.$$
Известна сумма всех трёх выплат. Первые два платежа вместе равны $2P$, поэтому:
$$2P+R=1254{,}4.$$
Подставляем найденное выражение для $R$ и собираем слагаемые с $P$:
$$2P+1382{,}4-2{,}64P=1254{,}4,$$
$$1382{,}4-0{,}64P=1254{,}4,$$
Прибавляем положительное слагаемое с $P$ и вычитаем общую сумму выплат:
$$0{,}64P=1382{,}4-1254{,}4=128,$$
$$P=\frac{128}{0{,}64}=200.$$
Последний платёж — общая сумма минус два первых платежа:
$$R=1254{,}4-2\cdot200=1254{,}4-400=854{,}4.$$
Проверка по годам:
$$800\cdot1{,}2-200=960-200=760,$$
$$760\cdot1{,}2-200=912-200=712,$$
$$712\cdot1{,}2-854{,}4=0.$$
Находим именно запрошенную сумму и переводим тысячи рублей в рубли:
$$200\cdot1000=200000.$$
Ответ: 200000 рублей.