В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на три года в размере 6 млн рублей. Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг увеличивается на $r$ % по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
$—$ в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на 70 % меньше долга на июль предыдущего года;
$—$ к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 8085 тыс. рублей. Найдите $r.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $25$ %.
Решение
Нужно проследить, на какую сумму начисляются проценты в каждом году. Считаем деньги в тысячах рублей. Обозначим исходный кредит через $S$.
Уменьшение «на определённый процент» означает, что остаётся прежний долг за вычетом этого процента. В этой задаче доля оставшегося долга:
$$k=1-\frac{70}{100}=0{,}3.$$
После каждого из первых платежей умножаем предыдущий остаток на эту долю. Поэтому до начислений получаются следующие остатки:
$$D_0=S.$$
$$D_1=1S\cdot 0{,}3=0{,}3S.$$
$$D_2=0{,}3S\cdot 0{,}3=0{,}09S.$$
Последний платёж погашает весь оставшийся долг. Всего основной долг возвращается один раз целиком. Всё сверх $S$ — проценты. Для их подсчёта сложим остатки перед начислениями:
$$B=(1+0{,}3+0{,}09)S=1{,}39S.$$
Кредит известен. Подставляем его в сумму остатков:
$$B=1{,}39\cdot 6000=8340.$$
Вычитаем кредит из общей выплаты, получая сумму процентов:
$$I=8085-6000=2085.$$
Составляем уравнение для ставки. Умножаем на 100, затем делим на сумму остатков:
$$8340\cdot\frac r{100}=2085,$$
$$8340r=208500,$$
$$r=\frac{208500}{8340}=25.$$
Проверим расчёт по отдельным платежам. Каждый платёж — долг после начисления процентов минус требуемый остаток после выплаты.
$$P_1=6000\cdot 1{,}25-1800=7500-1800=5700.$$
$$P_2=1800\cdot 1{,}25-540=2250-540=1710.$$
$$P_3=540\cdot 1{,}25-0=675-0=675.$$
$$V=5700+1710+675=8085.$$
Ответ: 25 %.