15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы:
$—$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
$—$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
$—$ 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
$—$ к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 30-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1503 тысячи рублей?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $200$ тыс. рублей.
Решение
Нужно отделить равномерное уменьшение основного долга от последнего платежа, который закрывает весь оставшийся долг. Считаем суммы в тысячах рублей.
Обозначим первоначальный кредит через $S$, остаток после равномерных уменьшений через $D$, число этих уменьшений через $n$, а один шаг через $d$. Тогда:
$$S-nd=D,\qquad d=\frac{S-D}{n}.$$
Проценты начисляются перед каждым платежом. Перед первым начислением долг равен $S$, перед последним — $D$. Между ними каждый раз вычитается $d$:
$$S,\quad S-d,\quad S-2d,\quad\ldots,\quad S-nd=D.$$
Здесь $n+1$ число: нумерация начинается с нулевого уменьшения. Сумма арифметической прогрессии — число членов, умноженное на полусумму первого и последнего:
$$B=\frac{(n+1)(S+D)}2.$$
За весь срок вернут основной долг $S$ и проценты $r/100$ с базы $B$. Поэтому:
$$T=S+\frac r{100}\cdot\frac{(n+1)(S+D)}2.$$
Подставляем известные данные и раскрываем скобки:
$$1503=1100+0{,}02\cdot\frac{31(1100+D)}2$$
$$1503=1441+0{,}31D.$$
Вычитаем постоянное слагаемое и делим на коэффициент:
$$0{,}31D=62,$$
$$D=\frac{62}{0{,}31}=200.$$
Для проверки найдём шаг и перечислим начало и конец прогрессии:
$$d=\frac{1100-200}{30}=30,$$
$$S-d=1100-30=1070,$$
$$S-30d=1100-900=200.$$
Сумма выплат после подстановки:
$$1100+0{,}02\cdot\frac{31(1100+200)}{2}=1100+403=1503.$$
Ответ: 200 тыс. рублей.
Число равномерных уменьшений и полный срок — разные величины: последний отдельный платёж увеличивает срок ещё на один месяц.