В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет. Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг будет возрастать на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
$—$ в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
$—$ в июле 2030 года долг должен составить 500 тыс. рублей;
$—$ в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
$—$ к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2080 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2026 году?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $250000$ рублей.
Решение
Нужно разобраться в двух этапах погашения: первые пять лет долг уменьшается одним шагом, следующие пять — другим. Считаем суммы в тысячах рублей. Обозначим кредит через $S$, а остаток после пяти лет — через $D$.
В первые пять лет надо уменьшить долг с $S$ до $D$. За каждый год основной долг уменьшается на:
$$a=\frac{S-D}{5}.$$
В следующие пять лет надо уменьшить долг с $D$ до нуля. Поэтому второй шаг:
$$b=\frac D5.$$
Чтобы найти все проценты, выпишем долги перед начислением. В первой пятилетке это:
$$S,\quad S-a,\quad S-2a,\quad S-3a,\quad S-4a.$$
Сложим отдельно пять одинаковых слагаемых $S$ и коэффициенты при $a$:
$$B_1=5S-(0+1+2+3+4)a=5S-10a.$$
Подставляем шаг первого этапа, сокращаем 10/5 и раскрываем скобки:
$$B_1=5S-10\cdot\frac{S-D}{5}=5S-2(S-D)$$
$$B_1=5S-2S+2D=3S+2D.$$
Во второй пятилетке основной долг перед начислениями равен $5b,4b,3b,2b,b$. Их сумма:
$$B_2=(5+4+3+2+1)b=15b=15\cdot\frac D5=3D.$$
Складываем обе базы процентов:
$$B=B_1+B_2=3S+2D+3D=3S+5D.$$
За весь срок банк получает обратно сам кредит и проценты. По ставке $r$ % проценты равны $r/100$ от суммы всех остатков. Получаем:
$$T=S+\frac r{100}(3S+5D).$$
Остаток $D$ и ставка известны. Подставляем их в уравнение, раскрываем скобки и собираем слагаемые с $S$:
$$T=S+0{,}3(3S+5\cdot500)$$
$$T=S+0{,}9S+750=1{,}9S+750,$$
$$2080=1{,}9S+750,$$
Вычитаем постоянное слагаемое и делим на коэффициент при кредите:
$$1{,}9S=2080-750=1330,$$
$$S=\frac{1330}{1{,}9}=700.$$
Теперь вычислим два шага уменьшения:
$$a=\frac{700-500}{5}=\frac{200}{5}=40,$$
$$b=\frac{500}{5}=100.$$
Первый платёж состоит из процентов на весь кредит и первого уменьшения основного долга:
$$P_1=\frac{30}{100}\cdot700+40=210+40=250.$$
Перед последним годом остаётся один шаг второго этапа. Последний платёж погашает его вместе с процентами:
$$P_{10}=100\left(1+\frac{30}{100}\right)=100\cdot1{,}3=130.$$
Проверка общей суммы процентов и выплат:
$$700+\frac{30}{100}\cdot4600=700+1380=2080.$$
Ответ: 250000 рублей.