15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возврата таковы:
$—$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
$—$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
$—$ 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
$—$ к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысячи рублей?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $1100$ тыс. рублей.
Решение
Нужно отделить равномерное уменьшение основного долга от последнего платежа, который закрывает весь оставшийся долг. Считаем суммы в тысячах рублей.
Обозначим первоначальный кредит через $S$, остаток после равномерных уменьшений через $D$, число этих уменьшений через $n$, а один шаг через $d$. Тогда:
$$S-nd=D,\qquad d=\frac{S-D}{n}.$$
Проценты начисляются перед каждым платежом. Перед первым начислением долг равен $S$, перед последним — $D$. Между ними каждый раз вычитается $d$:
$$S,\quad S-d,\quad S-2d,\quad\ldots,\quad S-nd=D.$$
Здесь $n+1$ число: нумерация начинается с нулевого уменьшения. Сумма арифметической прогрессии — число членов, умноженное на полусумму первого и последнего:
$$B=\frac{(n+1)(S+D)}2.$$
За весь срок вернут основной долг $S$ и проценты $r/100$ с базы $B$. Поэтому:
$$T=S+\frac r{100}\cdot\frac{(n+1)(S+D)}2.$$
Ежемесячный шаг известен, поэтому выражаем конечный остаток через кредит:
$$D=S-20\cdot30=S-600.$$
Подставляем в сумму прогрессии и раскрываем скобки:
$$B=\frac{21(S+S-600)}{2}=21S-6300.$$
Подставляем базу в уравнение всех выплат:
$$1604=S+0{,}03(21S-6300)$$
$$1604=1{,}63S-189.$$
Переносим постоянную часть и делим на коэффициент при кредите:
$$1{,}63S=1604-(-189)=1793,$$
$$S=\frac{1793}{1{,}63}=1100.$$
Для проверки найдём шаг и перечислим начало и конец прогрессии:
$$d=\frac{1100-500}{20}=30,$$
$$S-d=1100-30=1070,$$
$$S-20d=1100-600=500.$$
Сумма выплат после подстановки:
$$1100+0{,}03\cdot\frac{21(1100+500)}{2}=1100+504=1604.$$
Ответ: 1100 тыс. рублей.
Число равномерных уменьшений и полный срок — разные величины: последний отдельный платёж увеличивает срок ещё на один месяц.