В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 900 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
$—$ платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными;
$—$ к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в 2029 году составит 1027,2 тыс. рублей. Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $1427200$ рублей.
Решение
Считаем деньги в тысячах рублей. Обозначим одинаковые первые два платежа через $P$, последний платёж через $R$. Чтобы связать эти платежи, последовательно запишем остаток долга за каждый год.
Долг после начисления процентов умножается на коэффициент:
$$q=1+\frac{20}{100}=1{,}2.$$
После первого года:
$$D_1=1{,}2\cdot900-P=1080-P.$$
После второго года сначала начисляем проценты на весь предыдущий остаток, затем вычитаем второй такой же платёж. Раскрываем скобки:
$$D_2=1{,}2(1080-P)-P$$
$$D_2=1296-1{,}2P-P=1296-2{,}2P.$$
После третьего платежа остаток равен нулю:
$$1{,}2(1296-2{,}2P)-R=0,$$
Раскрываем скобки и выражаем последний платёж:
$$1555{,}2-2{,}64P-R=0,$$
$$R=1555{,}2-2{,}64P.$$
Последний платёж дан в условии. Подставляем его, прибавляем слагаемое с $P$ и вычитаем последний платёж:
$$1027{,}2=1555{,}2-2{,}64P,$$
$$2{,}64P=1555{,}2-1027{,}2=528,$$
Делим на коэффициент при $P$:
$$P=\frac{528}{2{,}64}=200.$$
Проверка по годам:
$$900\cdot1{,}2-200=1080-200=880,$$
$$880\cdot1{,}2-200=1056-200=856,$$
$$856\cdot1{,}2-1027{,}2=0.$$
Находим именно запрошенную сумму и переводим тысячи рублей в рубли:
$$V=2\cdot200+1027{,}2=400+1027{,}2=1427{,}2.$$
$$1427{,}2\cdot1000=1427200.$$
Ответ: 1427200 рублей.