ФИПИ 1187D1 — Другие схемы платежей

Здесь первые три года долг не уменьшается, а затем закрывается за два года. Рассмотрим эти этапы отдельно. Все суммы — в миллионах рублей. Обозначим исходный кредит через $S$. Ежегодный множитель начисления процентов: $$q=1+\frac{10}{100}=1{,}1.$$ В первые три года после платежа опять должен остаться долг $S$. Значит, платёж покрывает только прибавившиеся проценты. Каждый из первых трёх платежей равен: $$P_{\text{перв}}=1{,}1S-S=(1{,}1-1)S=0{,}1S.$$ За эти три года вместе выплачивают: $$3P_{\text{перв}}=3\cdot0{,}1S=0{,}3S.$$ Обозначим два последних равных платежа через $P$. Перед ними основной долг всё ещё равен $S$. После четвёртого платежа остаток: $$D_4=1{,}1S-P.$$ В пятом году на весь этот остаток начислят проценты, затем вычтут ещё $P$. Долг погасится полностью: $$1{,}1(1{,}1S-P)-P=0.$$ Раскрываем скобки и объединяем два слагаемых с платежом: $$1{,}21S-1{,}1P-P=0,$$ $$1{,}21S-(1{,}1+1)P=0,$$ $$1{,}21S=2{,}1P.$$ Делим на положительное число 2,1: $$P=\frac{1{,}21}{2{,}1}S=\frac{121}{210}S.$$ Сложим три первых и два последних платежа: $$V=0{,}3S+2\cdot\frac{121}{210}S=(0{,}3+\frac{121}{105})S=\frac{61}{42}S.$$ Общая выплата должна быть строго меньше указанного порога: $$\frac{61}{42}S<6.$$ Делим на положительный коэффициент; знак не меняется: $$S<\frac{6}{\frac{61}{42}}=\frac{252}{61}.$$ По условию число миллионов целое. Проверяем наибольшее целое число ниже этой границы и следующее за ним: $$S=4:\quad V=\frac{61}{42}\cdot4=\frac{122}{21}<6,$$ $$S=5:\quad V=\frac{61}{42}\cdot5=\frac{305}{42}>6.$$ При ещё большем кредите выплаты только увеличатся, потому что коэффициент положительный. Ответ: 4 млн рублей.