В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на три года в размере 12 млн рублей. Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг увеличивается на $r$ % по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
$—$ в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на 10 % меньше долга на июль предыдущего года;
$—$ к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 13 626 тыс. рублей. Найдите $r.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $5$.
Решение
Нужно проследить, на какую сумму начисляются проценты в каждом году. Считаем деньги в тысячах рублей. Обозначим исходный кредит через $S$.
Уменьшение «на определённый процент» означает, что остаётся прежний долг за вычетом этого процента. В этой задаче доля оставшегося долга:
$$k=1-\frac{10}{100}=0{,}9.$$
После каждого из первых платежей умножаем предыдущий остаток на эту долю. Поэтому до начислений получаются следующие остатки:
$$D_0=S.$$
$$D_1=1S\cdot 0{,}9=0{,}9S.$$
$$D_2=0{,}9S\cdot 0{,}9=0{,}81S.$$
Последний платёж погашает весь оставшийся долг. Всего основной долг возвращается один раз целиком. Всё сверх $S$ — проценты. Для их подсчёта сложим остатки перед начислениями:
$$B=(1+0{,}9+0{,}81)S=2{,}71S.$$
Кредит известен. Подставляем его в сумму остатков:
$$B=2{,}71\cdot 12000=32520.$$
Вычитаем кредит из общей выплаты, получая сумму процентов:
$$I=13626-12000=1626.$$
Составляем уравнение для ставки. Умножаем на 100, затем делим на сумму остатков:
$$32520\cdot\frac r{100}=1626,$$
$$32520r=162600,$$
$$r=\frac{162600}{32520}=5.$$
Проверим расчёт по отдельным платежам. Каждый платёж — долг после начисления процентов минус требуемый остаток после выплаты.
$$P_1=12000\cdot 1{,}05-10800=12600-10800=1800.$$
$$P_2=10800\cdot 1{,}05-9720=11340-9720=1620.$$
$$P_3=9720\cdot 1{,}05-0=10206-0=10206.$$
$$V=1800+1620+10206=13626.$$
Ответ: 5 %.