Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года.
Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше 20 млн рублей.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $9$ млн рублей.
Решение
Нужно найти наименьший первоначальный вклад. Считаем деньги в миллионах рублей. Обозначим начальную сумму через $P$. По условию $P$ — целое число. Каждый год вклад увеличивается на 10 %, поэтому умножается на $1+10/100=1{,}1$.
Составим сумму по годам, соблюдая порядок: пополнение в начале года, проценты в конце. После первого и второго годов:
$$A_1=1{,}1P,$$
$$A_2=1{,}1\cdot1{,}1P=1{,}21P.$$
В начале третьего года добавляем 3, затем начисляем проценты на всю сумму. Раскрываем скобки:
$$A_3=(1{,}21P+3)\cdot1{,}1=1{,}331P+3{,}3.$$
В начале четвёртого года добавляем ещё 3 и опять умножаем весь вклад на 1,1:
$$A_4=(1{,}331P+3{,}3+3)\cdot1{,}1$$
$$A_4=(1{,}331P+6{,}3)\cdot1{,}1=1{,}4641P+6{,}93.$$
Требуется строго больше 20 миллионов. Вычитаем 6,93 из обеих частей:
$$1{,}4641P+6{,}93>20,$$
$$1{,}4641P>20-6{,}93=13{,}07.$$
Проверим целые значения рядом с границей. Умножение на положительный коэффициент сохраняет порядок:
$$1{,}4641\cdot8=11{,}7128<13{,}07,$$
$$1{,}4641\cdot9=13{,}1769>13{,}07.$$
Значит, 8 миллионов и меньшие суммы не подходят; 9 миллионов уже подходят. Проверка полной суммы:
$$1{,}4641\cdot9+6{,}93=13{,}1769+6{,}93=20{,}1069>20.$$
Ответ: 9 млн рублей.