15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей
на $(n+1)$ месяц. Условия его возврата таковы:
$—$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$ % по сравнению с концом предыдущего месяца;
$—$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
$—$ 15-го числа каждого месяца с 1-го по $n$ -й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
$—$ 15-го числа $n$ -го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
$—$ к 15-му числу $(n+1)$ -го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите $r$, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $3$.
Решение
Нужно отделить равномерное уменьшение основного долга от последнего платежа, который закрывает весь оставшийся долг. Считаем суммы в тысячах рублей.
Обозначим первоначальный кредит через $S$, остаток после равномерных уменьшений через $D$, число этих уменьшений через $n$, а один шаг через $d$. Тогда:
$$S-nd=D,\qquad d=\frac{S-D}{n}.$$
Проценты начисляются перед каждым платежом. Перед первым начислением долг равен $S$, перед последним — $D$. Между ними каждый раз вычитается $d$:
$$S,\quad S-d,\quad S-2d,\quad\ldots,\quad S-nd=D.$$
Здесь $n+1$ число: нумерация начинается с нулевого уменьшения. Сумма арифметической прогрессии — число членов, умноженное на полусумму первого и последнего:
$$B=\frac{(n+1)(S+D)}2.$$
За весь срок вернут основной долг $S$ и проценты $r/100$ с базы $B$. Поэтому:
$$T=S+\frac r{100}\cdot\frac{(n+1)(S+D)}2.$$
Сначала находим число равномерных уменьшений:
$$n=\frac{1000-200}{40}=\frac{800}{40}=20.$$
Вычислим базу процентов и саму переплату:
$$B=\frac{21(1000+200)}{2}=12600,$$
$$I=1378-1000=378.$$
Ставка определяется уравнением процентов. Умножаем на 100 и делим на базу:
$$12600\cdot\frac r{100}=378,$$
$$r=\frac{37800}{12600}=3.$$
Для проверки найдём шаг и перечислим начало и конец прогрессии:
$$d=\frac{1000-200}{20}=40,$$
$$S-d=1000-40=960,$$
$$S-20d=1000-800=200.$$
Сумма выплат после подстановки:
$$1000+0{,}03\cdot\frac{21(1000+200)}{2}=1000+378=1378.$$
Ответ: 3 %.
Число равномерных уменьшений и полный срок — разные величины: последний отдельный платёж увеличивает срок ещё на один месяц.