В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на четыре года в размере $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
$—$ в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 20 % меньше долга на июль предыдущего года;
$—$ к июлю 2032 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 47 712 тыс. рублей. Найдите $S.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $30000$.
Решение
Нужно проследить, на какую сумму начисляются проценты в каждом году. Считаем деньги в тысячах рублей. Обозначим исходный кредит через $S$.
Уменьшение «на определённый процент» означает, что остаётся прежний долг за вычетом этого процента. В этой задаче доля оставшегося долга:
$$k=1-\frac{20}{100}=0{,}8.$$
После каждого из первых платежей умножаем предыдущий остаток на эту долю. Поэтому до начислений получаются следующие остатки:
$$D_0=S.$$
$$D_1=1S\cdot 0{,}8=0{,}8S.$$
$$D_2=0{,}8S\cdot 0{,}8=0{,}64S.$$
$$D_3=0{,}64S\cdot 0{,}8=0{,}512S.$$
Последний платёж погашает весь оставшийся долг. Всего основной долг возвращается один раз целиком. Всё сверх $S$ — проценты. Для их подсчёта сложим остатки перед начислениями:
$$B=(1+0{,}8+0{,}64+0{,}512)S=2{,}952S.$$
Начисленные проценты и сумма выплат:
$$I=\frac{20}{100}\cdot 2{,}952S=0{,}5904S,$$
$$V=S+I=S+0{,}5904S=1{,}5904S.$$
По условию сумма выплат известна. Делим обе части уравнения на коэффициент:
$$1{,}5904S=47712,$$
$$S=\frac{47712}{1{,}5904}=30000.$$
Проверим расчёт по отдельным платежам. Каждый платёж — долг после начисления процентов минус требуемый остаток после выплаты.
$$P_1=30000\cdot 1{,}2-24000=36000-24000=12000.$$
$$P_2=24000\cdot 1{,}2-19200=28800-19200=9600.$$
$$P_3=19200\cdot 1{,}2-15360=23040-15360=7680.$$
$$P_4=15360\cdot 1{,}2-0=18432-0=18432.$$
$$V=12000+9600+7680+18432=47712.$$
Ответ: 30000 тыс. рублей.