В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет
в размере $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным $S$ тыс. рублей;
— выплаты в 2030 и 2031 годах равны по 338 тыс. рублей;
— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $1090$ тыс. рублей.
Решение
Здесь первые три года долг не уменьшается, а затем закрывается за два года. Рассмотрим эти этапы отдельно. Все суммы — в тысячах рублей.
Обозначим исходный кредит через $S$. Ежегодный множитель начисления процентов:
$$q=1+\frac{30}{100}=1{,}3.$$
В первые три года после платежа опять должен остаться долг $S$. Значит, платёж покрывает только прибавившиеся проценты. Каждый из первых трёх платежей равен:
$$P_{\text{перв}}=1{,}3S-S=(1{,}3-1)S=0{,}3S.$$
За эти три года вместе выплачивают:
$$3P_{\text{перв}}=3\cdot0{,}3S=0{,}9S.$$
Обозначим два последних равных платежа через $P$. Перед ними основной долг всё ещё равен $S$. После четвёртого платежа остаток:
$$D_4=1{,}3S-P.$$
В пятом году на весь этот остаток начислят проценты, затем вычтут ещё $P$. Долг погасится полностью:
$$1{,}3(1{,}3S-P)-P=0.$$
Раскрываем скобки и объединяем два слагаемых с платежом:
$$1{,}69S-1{,}3P-P=0,$$
$$1{,}69S-(1{,}3+1)P=0,$$
$$1{,}69S=2{,}3P.$$
Делим на положительное число 2,3:
$$P=\frac{1{,}69}{2{,}3}S=\frac{169}{230}S.$$
Два последних платежа известны. Подставляем один из них в полученное равенство и находим кредит:
$$1{,}69S=2{,}3\cdot338=777{,}4,$$
$$S=\frac{777{,}4}{1{,}69}=460.$$
Теперь вычисляем один из первых платежей:
$$P_{\text{перв}}=0{,}3\cdot460=138.$$
Складываем три первых и два последних платежа:
$$V=3\cdot138+2\cdot338=414+676=1090.$$
Ответ: 1090 тыс. рублей.
Проверка двух последних лет:
$$460\cdot1{,}3-338=260,$$
$$260\cdot1{,}3-338=0.$$