В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 200 000 рублей. Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг увеличивается на $r$% по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите $r$, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 130 000 рублей, а во второй год $—$ 150 000 рублей.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $25$ %.
Решение
Нужно найти ставку начисления процентов по двум известным платежам. Считаем суммы в тысячах рублей. Обозначим множитель увеличения долга через $q$:
$$q=1+\frac r{100}>0.$$
После первого начисления долг равен $200q$. После первого платежа 130 остаётся:
$$D_1=200q-130.$$
Во втором году на весь остаток снова начисляются проценты. Второй платёж 150 закрывает его полностью:
$$(200q-130)q=150.$$
Раскрываем скобки, затем переносим 150 в левую часть:
$$200q^2-130q=150,$$
$$200q^2-130q-150=0.$$
Делим каждый член уравнения на 10:
$$20q^2-13q-15=0.$$
Решим квадратное уравнение по формуле. Коэффициенты $A=20$, $B=-13$, $C=-15$. Дискриминант:
$$D=B^2-4AC=(-13)^2-4\cdot20\cdot(-15)$$
$$D=169+1200=1369=37^2.$$
Подставляем в формулу корней:
$$q=\frac{-B\pm\sqrt D}{2A}=\frac{13\pm37}{40}.$$
Отдельно вычисляем два корня:
$$q_1=\frac{13+37}{40}=\frac{50}{40}=1{,}25,$$
$$q_2=\frac{13-37}{40}=\frac{-24}{40}=-0{,}6.$$
Отрицательный множитель долга невозможен, поэтому второй корень исключаем. Возвращаемся к процентной ставке:
$$1+\frac r{100}=1{,}25,$$
$$\frac r{100}=1{,}25-1=0{,}25,$$
$$r=0{,}25\cdot100=25.$$
Проверяем оба года:
$$200\cdot1{,}25-130=250-130=120,$$
$$120\cdot1{,}25-150=150-150=0.$$
Ответ: 25 %.