15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей
на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:
$—$ 1-го числа каждого месяца долг будет возрастать на $r$ % по сравнению с концом предыдущего месяца ( $r$$—$ целое число);
$—$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
$—$ 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
$—$ 15-го числа 15-го месяца долг должен быть равен 500 тысяч рублей;
$—$ к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите $r,$ если известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет составлять 1228 тысяч рублей.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $1$.
Решение
Нужно отделить равномерное уменьшение основного долга от последнего платежа, который закрывает весь оставшийся долг. Считаем суммы в тысячах рублей.
Обозначим первоначальный кредит через $S$, остаток после равномерных уменьшений через $D$, число этих уменьшений через $n$, а один шаг через $d$. Тогда:
$$S-nd=D,\qquad d=\frac{S-D}{n}.$$
Проценты начисляются перед каждым платежом. Перед первым начислением долг равен $S$, перед последним — $D$. Между ними каждый раз вычитается $d$:
$$S,\quad S-d,\quad S-2d,\quad\ldots,\quad S-nd=D.$$
Здесь $n+1$ число: нумерация начинается с нулевого уменьшения. Сумма арифметической прогрессии — число членов, умноженное на полусумму первого и последнего:
$$B=\frac{(n+1)(S+D)}2.$$
За весь срок вернут основной долг $S$ и проценты $r/100$ с базы $B$. Поэтому:
$$T=S+\frac r{100}\cdot\frac{(n+1)(S+D)}2.$$
Вычислим базу процентов и саму переплату:
$$B=\frac{16(1100+500)}{2}=12800,$$
$$I=1228-1100=128.$$
Ставка определяется уравнением процентов. Умножаем на 100 и делим на базу:
$$12800\cdot\frac r{100}=128,$$
$$r=\frac{12800}{12800}=1.$$
Для проверки найдём шаг и перечислим начало и конец прогрессии:
$$d=\frac{1100-500}{15}=40,$$
$$S-d=1100-40=1060,$$
$$S-15d=1100-600=500.$$
Сумма выплат после подстановки:
$$1100+0{,}01\cdot\frac{16(1100+500)}{2}=1100+128=1228.$$
Ответ: 1 %.
Число равномерных уменьшений и полный срок — разные величины: последний отдельный платёж увеличивает срок ещё на один месяц.