В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на три года в размере $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
$—$ в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на 70 % меньше долга на июль предыдущего года;
$—$ к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 11 502 тыс. рублей. Найдите $S.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $9000$.
Решение
Нужно проследить, на какую сумму начисляются проценты в каждом году. Считаем деньги в тысячах рублей. Обозначим исходный кредит через $S$.
Уменьшение «на определённый процент» означает, что остаётся прежний долг за вычетом этого процента. В этой задаче доля оставшегося долга:
$$k=1-\frac{70}{100}=0{,}3.$$
После каждого из первых платежей умножаем предыдущий остаток на эту долю. Поэтому до начислений получаются следующие остатки:
$$D_0=S.$$
$$D_1=1S\cdot 0{,}3=0{,}3S.$$
$$D_2=0{,}3S\cdot 0{,}3=0{,}09S.$$
Последний платёж погашает весь оставшийся долг. Всего основной долг возвращается один раз целиком. Всё сверх $S$ — проценты. Для их подсчёта сложим остатки перед начислениями:
$$B=(1+0{,}3+0{,}09)S=1{,}39S.$$
Начисленные проценты и сумма выплат:
$$I=\frac{20}{100}\cdot 1{,}39S=0{,}278S,$$
$$V=S+I=S+0{,}278S=1{,}278S.$$
По условию сумма выплат известна. Делим обе части уравнения на коэффициент:
$$1{,}278S=11502,$$
$$S=\frac{11502}{1{,}278}=9000.$$
Проверим расчёт по отдельным платежам. Каждый платёж — долг после начисления процентов минус требуемый остаток после выплаты.
$$P_1=9000\cdot 1{,}2-2700=10800-2700=8100.$$
$$P_2=2700\cdot 1{,}2-810=3240-810=2430.$$
$$P_3=810\cdot 1{,}2-0=972-0=972.$$
$$V=8100+2430+972=11502.$$
Ответ: 9000 тыс. рублей.