В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
$—$ платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 500 тыс. рублей;
$—$ к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита равна 1235,2 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $900$ тыс. рублей.
Решение
Нужно восстановить первоначальный кредит. Считаем суммы в тысячах рублей. Удобно двигаться от последнего платежа назад: если при движении вперёд долг умножали на коэффициент и вычитали платёж, при движении назад сначала прибавляем платёж, затем делим на коэффициент.
Коэффициент начисления процентов:
$$q=1+\frac{20}{100}=1{,}2.$$
Сначала из общей выплаты вычитаем первые два известных платежа:
$$R=1235{,}2-500-500=735{,}2-500=235{,}2.$$
После последнего платежа долг равен нулю. Значит, до этого платежа, уже с начисленными процентами, долг равен самому платежу. Чтобы убрать последнее начисление, делим на коэффициент:
$$D_2=\frac{235{,}2}{1{,}2}=196.$$
Это остаток после второго платежа. Прибавляем второй платёж, восстанавливая сумму до его вычитания:
$$196+500=696.$$
Теперь убираем начисление процентов второго года:
$$D_1=\frac{696}{1{,}2}=580.$$
Перед первым платежом долг был больше остатка на величину этого платежа:
$$580+500=1080.$$
Убираем первое начисление процентов и получаем исходный кредит:
$$S=\frac{1080}{1{,}2}=900.$$
Проверим в прямом порядке:
$$900\cdot1{,}2-500=1080-500=580,$$
$$580\cdot1{,}2-500=696-500=196,$$
$$196\cdot1{,}2-235{,}2=235{,}2-235{,}2=0.$$
Ответ: 900 тыс. рублей.