В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 825 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 825 тыс. рублей;
— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $1575$ тыс. рублей.
Решение
Здесь первые три года долг не уменьшается, а затем закрывается за два года. Рассмотрим эти этапы отдельно. Все суммы — в тысячах рублей.
Обозначим исходный кредит через $S$. Ежегодный множитель начисления процентов:
$$q=1+\frac{20}{100}=1{,}2.$$
В первые три года после платежа опять должен остаться долг $S$. Значит, платёж покрывает только прибавившиеся проценты. Каждый из первых трёх платежей равен:
$$P_{\text{перв}}=1{,}2S-S=(1{,}2-1)S=0{,}2S.$$
За эти три года вместе выплачивают:
$$3P_{\text{перв}}=3\cdot0{,}2S=0{,}6S.$$
Обозначим два последних равных платежа через $P$. Перед ними основной долг всё ещё равен $S$. После четвёртого платежа остаток:
$$D_4=1{,}2S-P.$$
В пятом году на весь этот остаток начислят проценты, затем вычтут ещё $P$. Долг погасится полностью:
$$1{,}2(1{,}2S-P)-P=0.$$
Раскрываем скобки и объединяем два слагаемых с платежом:
$$1{,}44S-1{,}2P-P=0,$$
$$1{,}44S-(1{,}2+1)P=0,$$
$$1{,}44S=2{,}2P.$$
Делим на положительное число 2,2:
$$P=\frac{1{,}44}{2{,}2}S=\frac{36}{55}S.$$
Кредит известен. Подставляем его для расчёта последнего платежа:
$$P=\frac{1{,}44\cdot825}{2{,}2}=\frac{1188}{2{,}2}=540.$$
Теперь вычисляем один из первых платежей:
$$P_{\text{перв}}=0{,}2\cdot825=165.$$
Складываем три первых и два последних платежа:
$$V=3\cdot165+2\cdot540=495+1080=1575.$$
Ответ: 1575 тыс. рублей.
Проверка двух последних лет:
$$825\cdot1{,}2-540=450,$$
$$450\cdot1{,}2-540=0.$$