В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на четыре года в размере $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
$—$ в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 25 % меньше долга на июль предыдущего года;
$—$ к июлю 2032 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 53 875 тыс. рублей. Найдите $S.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: 32000
Решение
Нужно проследить, на какую сумму начисляются проценты в каждом году. Считаем деньги в тысячах рублей. Обозначим исходный кредит через $S$.
Уменьшение «на определённый процент» означает, что остаётся прежний долг за вычетом этого процента. В этой задаче доля оставшегося долга:
$$k=1-\frac{25}{100}=0{,}75.$$
После каждого из первых платежей умножаем предыдущий остаток на эту долю. Поэтому до начислений получаются следующие остатки:
$$D_0=S.$$
$$D_1=1S\cdot 0{,}75=0{,}75S.$$
$$D_2=0{,}75S\cdot 0{,}75=0{,}5625S.$$
$$D_3=0{,}5625S\cdot 0{,}75=0{,}421875S.$$
Последний платёж погашает весь оставшийся долг. Всего основной долг возвращается один раз целиком. Всё сверх $S$ — проценты. Для их подсчёта сложим остатки перед начислениями:
$$B=(1+0{,}75+0{,}5625+0{,}421875)S=2{,}734375S.$$
Начисленные проценты и сумма выплат:
$$I=\frac{25}{100}\cdot 2{,}734375S=0{,}68359375S,$$
$$V=S+I=S+0{,}68359375S=1{,}68359375S.$$
По условию сумма выплат известна. Делим обе части уравнения на коэффициент:
$$1{,}68359375S=53875,$$
$$S=\frac{53875}{1{,}68359375}=32000.$$
Проверим расчёт по отдельным платежам. Каждый платёж — долг после начисления процентов минус требуемый остаток после выплаты.
$$P_1=32000\cdot 1{,}25-24000=40000-24000=16000.$$
$$P_2=24000\cdot 1{,}25-18000=30000-18000=12000.$$
$$P_3=18000\cdot 1{,}25-13500=22500-13500=9000.$$
$$P_4=13500\cdot 1{,}25-0=16875-0=16875.$$
$$V=16000+12000+9000+16875=53875.$$
Ответ: 32000 тыс. рублей.