15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:
$—$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
$—$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
$—$ 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
$—$ к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1198 тысяч рублей?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $200$ тыс. рублей.
Решение
Нужно отделить равномерное уменьшение основного долга от последнего платежа, который закрывает весь оставшийся долг. Считаем суммы в тысячах рублей.
Обозначим первоначальный кредит через $S$, остаток после равномерных уменьшений через $D$, число этих уменьшений через $n$, а один шаг через $d$. Тогда:
$$S-nd=D,\qquad d=\frac{S-D}{n}.$$
Проценты начисляются перед каждым платежом. Перед первым начислением долг равен $S$, перед последним — $D$. Между ними каждый раз вычитается $d$:
$$S,\quad S-d,\quad S-2d,\quad\ldots,\quad S-nd=D.$$
Здесь $n+1$ число: нумерация начинается с нулевого уменьшения. Сумма арифметической прогрессии — число членов, умноженное на полусумму первого и последнего:
$$B=\frac{(n+1)(S+D)}2.$$
За весь срок вернут основной долг $S$ и проценты $r/100$ с базы $B$. Поэтому:
$$T=S+\frac r{100}\cdot\frac{(n+1)(S+D)}2.$$
Ежемесячный шаг известен, поэтому выражаем конечный остаток через кредит:
$$D=S-10\cdot80=S-800.$$
Подставляем в сумму прогрессии и раскрываем скобки:
$$B=\frac{11(S+S-800)}{2}=11S-4400.$$
Подставляем базу в уравнение всех выплат:
$$1198=S+0{,}03(11S-4400)$$
$$1198=1{,}33S-132.$$
Переносим постоянную часть и делим на коэффициент при кредите:
$$1{,}33S=1198-(-132)=1330,$$
$$S=\frac{1330}{1{,}33}=1000.$$
Для проверки найдём шаг и перечислим начало и конец прогрессии:
$$d=\frac{1000-200}{10}=80,$$
$$S-d=1000-80=920,$$
$$S-10d=1000-800=200.$$
Сумма выплат после подстановки:
$$1000+0{,}03\cdot\frac{11(1000+200)}{2}=1000+198=1198.$$
Ответ: 200 тыс. рублей.
Число равномерных уменьшений и полный срок — разные величины: последний отдельный платёж увеличивает срок ещё на один месяц.