В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
$—$ каждый январь долг будет возрастать на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;
$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
$—$ платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными;
$—$ к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в 2029 году составит 833,8 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2027 года?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $100000$ рублей.
Решение
Считаем деньги в тысячах рублей. Обозначим одинаковые первые два платежа через $P$, последний платёж через $R$. Чтобы связать эти платежи, последовательно запишем остаток долга за каждый год.
Долг после начисления процентов умножается на коэффициент:
$$q=1+\frac{10}{100}=1{,}1.$$
После первого года:
$$D_1=1{,}1\cdot800-P=880-P.$$
После второго года сначала начисляем проценты на весь предыдущий остаток, затем вычитаем второй такой же платёж. Раскрываем скобки:
$$D_2=1{,}1(880-P)-P$$
$$D_2=968-1{,}1P-P=968-2{,}1P.$$
После третьего платежа остаток равен нулю:
$$1{,}1(968-2{,}1P)-R=0,$$
Раскрываем скобки и выражаем последний платёж:
$$1064{,}8-2{,}31P-R=0,$$
$$R=1064{,}8-2{,}31P.$$
Последний платёж дан в условии. Подставляем его, прибавляем слагаемое с $P$ и вычитаем последний платёж:
$$833{,}8=1064{,}8-2{,}31P,$$
$$2{,}31P=1064{,}8-833{,}8=231,$$
Делим на коэффициент при $P$:
$$P=\frac{231}{2{,}31}=100.$$
Проверка по годам:
$$800\cdot1{,}1-100=880-100=780,$$
$$780\cdot1{,}1-100=858-100=758,$$
$$758\cdot1{,}1-833{,}8=0.$$
Находим именно запрошенную сумму и переводим тысячи рублей в рубли:
$$100\cdot1000=100000.$$
Ответ: 100000 рублей.