Оптимальный выбор — задание №16 ЕГЭ по математике

Нужно распределить производство между двумя заводами так, чтобы при данном бюджете получить как можно больше товара. Обозначим выпуск первого завода через $u$, второго через $v$. По смыслу $u,v\ge0$. Если изготовлено $u$ единиц, затрачено $u^2$ часов; аналогично второй завод затрачивает $v^2$ часов. Умножаем часы на стоимость одного часа. Общие расходы: $$C=200u^2+300v^2.$$ Обозначим весь выпуск через $S=u+v$. Тогда $v=S-u$. Подставим это вместо $v$, чтобы получить выражение с одной переменной $u$ при заданном общем выпуске: $$C=200u^2+300(S-u)^2.$$ Раскрываем квадрат разности и скобки: $$(S-u)^2=S^2-2Su+u^2,$$ $$C=200u^2+300S^2-600Su+300u^2$$ $$C=500u^2-600Su+300S^2.$$ Выделим полный квадрат: он неотрицателен и позволит получить нижнюю границу расходов. Выносим 500 из первых двух членов: $$C=500(u^2-1{,}2Su)+300S^2.$$ Чтобы получить квадрат $(u-0{,}6S)^2$, нужно добавить $0{,}36S^2$; затем вычесть добавленное: $$C=500\bigl((u-0{,}6S)^2-0{,}36S^2\bigr)+300S^2$$ $$C=500(u-0{,}6S)^2-180S^2+300S^2$$ $$C=500(u-0{,}6S)^2+120S^2.$$ Первое слагаемое неотрицательно. При любом распределении выпуска расходы не меньше $120S^2$. Бюджет ограничен 1200000, поэтому: $$120S^2\le1200000.$$ Делим на 120. Так как общий выпуск неотрицателен, берём положительный корень: $$S^2\le10000,\qquad0\le S\le100.$$ Нужно доказать, что 100 единиц действительно можно выпустить. Для равенства квадрат должен быть нулевым. При $S=100$ выбираем: $$u=0{,}6\cdot100=60,\qquad v=100-60=40.$$ Проверяем бюджет: $$200\cdot60^2+300\cdot40^2=200\cdot3600+300\cdot1600$$ $$C=720000+480000=1200000.$$ Граница достигнута: выпускается $60+40=100$ единиц ровно в рамках бюджета. Ответ: 100.

Нужно сравнить результаты продажи бумаг в разные целые годы. Если продать их в конце года $t$, выручка равна $t^2$ тысяч рублей. До конца 25-го года после этого пройдёт 25−$t$ начислений процентов. Обозначим множитель одного начисления через $q$. Тогда итог на счёте: $$F(t)=t^2q^{25-t},\qquad t=1,2,\ldots,25.$$ Не нужно вычислять все большие суммы по отдельности. Сравним результат следующего года с предыдущим. Если их отношение больше 1 — сумма выросла; если меньше 1 — уменьшилась. Для следующего года число начислений на одно меньше: $$F(t+1)=(t+1)^2q^{25-t-1}.$$ Делим выражения. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$\frac{F(t+1)}{F(t)}=\frac{(t+1)^2}{t^2}q^{(25-t-1)-(25-t)}$$ $$R(t)=\frac{F(t+1)}{F(t)}=\frac{(t+1)^2}{qt^2}=\frac{(1+1/t)^2}{q}.$$ Когда положительное целое $t$ увеличивается, дробь $1/t$ уменьшается. Значит, $1+1/t$, её квадрат и всё отношение $R(t)$ уменьшаются. Поэтому достаточно найти место, где рост сменяется убыванием: до него все отношения больше 1, после — меньше 1. По ставке из условия множитель одного начисления: $$q=1+\frac{10}{100}=1{,}1.$$ Проверяем переход к 21-му году и переход после него: $$R(20)=\frac{21^2}{1{,}1\cdot20^2}=\frac{441}{440}=\frac{441}{440}>1,$$ $$R(21)=\frac{22^2}{1{,}1\cdot21^2}=\frac{484}{485{,}1}=\frac{440}{441}<1.$$ Отношение $R(t)$ уменьшается. Поэтому на всех более ранних переходах оно ещё больше 1 — сумма растёт. На всех более поздних переходах оно уже меньше 1 — сумма падает. Значит, наибольшая сумма будет при продаже в конце 21-го года. Ответ: 21.

Нужно сравнить результаты продажи бумаг в разные целые годы. Если продать их в конце года $t$, выручка равна $t^2$ тысяч рублей. До конца 25-го года после этого пройдёт 25−$t$ начислений процентов. Обозначим множитель одного начисления через $q$. Тогда итог на счёте: $$F(t)=t^2q^{25-t},\qquad t=1,2,\ldots,25.$$ Не нужно вычислять все большие суммы по отдельности. Сравним результат следующего года с предыдущим. Если их отношение больше 1 — сумма выросла; если меньше 1 — уменьшилась. Для следующего года число начислений на одно меньше: $$F(t+1)=(t+1)^2q^{25-t-1}.$$ Делим выражения. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$\frac{F(t+1)}{F(t)}=\frac{(t+1)^2}{t^2}q^{(25-t-1)-(25-t)}$$ $$R(t)=\frac{F(t+1)}{F(t)}=\frac{(t+1)^2}{qt^2}=\frac{(1+1/t)^2}{q}.$$ Когда положительное целое $t$ увеличивается, дробь $1/t$ уменьшается. Значит, $1+1/t$, её квадрат и всё отношение $R(t)$ уменьшаются. Поэтому достаточно найти место, где рост сменяется убыванием: до него все отношения больше 1, после — меньше 1. По условию каждый год счёт увеличивается в $1+r$ раз, поэтому именно в этой задаче $q=1+r$; здесь $r$ уже доля прироста, а не число процентов. Для единственного лучшего года 21 нужны два строгих сравнения: $$R(20)>1,\qquad R(21)<1.$$ Первое означает, что переход к нужному году выгоден: $$\frac{21^2}{(1+r)20^2}>1,$$ Умножаем на положительный знаменатель и делим на положительный квадрат: $$441>(1+r)400,$$ $$1+r<\frac{441}{400}.$$ Второе сравнение означает, что откладывать продажу ещё на год уже невыгодно: $$\frac{22^2}{(1+r)21^2}<1,$$ $$1+r>\frac{484}{441}.$$ Вычитаем единицу из обеих границ: $$r>\frac{484}{441}-1=\frac{484-441}{441}=\frac{43}{441},$$ $$r<\frac{441}{400}-1=\frac{441-400}{400}=0{,}1025.$$ Границы не включаем: на каждой из них два соседних года дали бы одинаковый результат, а требуется строго один лучший год. По убыванию $R(t)$ раньше нужного года сумма растёт, после него убывает; поэтому сравнение со всеми годами выполнено. Ответ: $$r\in(\frac{43}{441};0{,}1025).$$

Нужно сравнить результаты продажи бумаг в разные целые годы. Если продать их в конце года $t$, выручка равна $t^2$ тысяч рублей. До конца 20-го года после этого пройдёт 20−$t$ начислений процентов. Обозначим множитель одного начисления через $q$. Тогда итог на счёте: $$F(t)=t^2q^{20-t},\qquad t=1,2,\ldots,20.$$ Не нужно вычислять все большие суммы по отдельности. Сравним результат следующего года с предыдущим. Если их отношение больше 1 — сумма выросла; если меньше 1 — уменьшилась. Для следующего года число начислений на одно меньше: $$F(t+1)=(t+1)^2q^{20-t-1}.$$ Делим выражения. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$\frac{F(t+1)}{F(t)}=\frac{(t+1)^2}{t^2}q^{(20-t-1)-(20-t)}$$ $$R(t)=\frac{F(t+1)}{F(t)}=\frac{(t+1)^2}{qt^2}=\frac{(1+1/t)^2}{q}.$$ Когда положительное целое $t$ увеличивается, дробь $1/t$ уменьшается. Значит, $1+1/t$, её квадрат и всё отношение $R(t)$ уменьшаются. Поэтому достаточно найти место, где рост сменяется убыванием: до него все отношения больше 1, после — меньше 1. По условию каждый год счёт увеличивается в $1+r$ раз, поэтому именно в этой задаче $q=1+r$; здесь $r$ уже доля прироста, а не число процентов. Для единственного лучшего года 9 нужны два строгих сравнения: $$R(8)>1,\qquad R(9)<1.$$ Первое означает, что переход к нужному году выгоден: $$\frac{9^2}{(1+r)8^2}>1,$$ Умножаем на положительный знаменатель и делим на положительный квадрат: $$81>(1+r)64,$$ $$1+r<\frac{81}{64}.$$ Второе сравнение означает, что откладывать продажу ещё на год уже невыгодно: $$\frac{10^2}{(1+r)9^2}<1,$$ $$1+r>\frac{100}{81}.$$ Вычитаем единицу из обеих границ: $$r>\frac{100}{81}-1=\frac{100-81}{81}=\frac{19}{81},$$ $$r<\frac{81}{64}-1=\frac{81-64}{64}=0{,}265625.$$ Границы не включаем: на каждой из них два соседних года дали бы одинаковый результат, а требуется строго один лучший год. По убыванию $R(t)$ раньше нужного года сумма растёт, после него убывает; поэтому сравнение со всеми годами выполнено. Ответ: $$r\in(\frac{19}{81};0{,}265625).$$

Нужно сравнить результаты продажи бумаг в разные целые годы. Если продать их в конце года $t$, выручка равна $t^2$ тысяч рублей. До конца 20-го года после этого пройдёт 20−$t$ начислений процентов. Обозначим множитель одного начисления через $q$. Тогда итог на счёте: $$F(t)=t^2q^{20-t},\qquad t=1,2,\ldots,20.$$ Не нужно вычислять все большие суммы по отдельности. Сравним результат следующего года с предыдущим. Если их отношение больше 1 — сумма выросла; если меньше 1 — уменьшилась. Для следующего года число начислений на одно меньше: $$F(t+1)=(t+1)^2q^{20-t-1}.$$ Делим выражения. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$\frac{F(t+1)}{F(t)}=\frac{(t+1)^2}{t^2}q^{(20-t-1)-(20-t)}$$ $$R(t)=\frac{F(t+1)}{F(t)}=\frac{(t+1)^2}{qt^2}=\frac{(1+1/t)^2}{q}.$$ Когда положительное целое $t$ увеличивается, дробь $1/t$ уменьшается. Значит, $1+1/t$, её квадрат и всё отношение $R(t)$ уменьшаются. Поэтому достаточно найти место, где рост сменяется убыванием: до него все отношения больше 1, после — меньше 1. По ставке из условия множитель одного начисления: $$q=1+\frac{25}{100}=1{,}25.$$ Проверяем переход к 9-му году и переход после него: $$R(8)=\frac{9^2}{1{,}25\cdot8^2}=\frac{81}{80}=1{,}0125>1,$$ $$R(9)=\frac{10^2}{1{,}25\cdot9^2}=\frac{100}{101{,}25}=\frac{80}{81}<1.$$ Отношение $R(t)$ уменьшается. Поэтому на всех более ранних переходах оно ещё больше 1 — сумма растёт. На всех более поздних переходах оно уже меньше 1 — сумма падает. Значит, наибольшая сумма будет при продаже в конце 9-го года. Ответ: 9.

Нужно подобрать цену продажи, при которой строительство окупится не позднее трёх лет. Прибыль за каждый год должна покрывать как минимум треть затрат на строительство. Суммы прибыли считаем в миллионах рублей. Обозначим годовой выпуск через $x$ тысяч единиц; по смыслу $x\ge0$. В условии дана прибыль. Раскрываем скобки: $$\Pi(x)=px-(0{,}5x^2+2x+6)$$ $$\Pi(x)=-0{,}5x^2+(p-2)x-6.$$ Завод выбирает выпуск с наибольшей прибылью. Чтобы найти это значение, выделим полный квадрат: $$\Pi(x)=-\frac12\bigl(x^2-2(p-2)x\bigr)-6.$$ Добавляем и вычитаем $(p-2)^2$ внутри скобок: $$\Pi(x)=-\frac12\bigl((x-(p-2))^2-(p-2)^2\bigr)-6$$ $$\Pi(x)=-\frac12(x-(p-2))^2+\frac{(p-2)^2}{2}-6.$$ Квадрат неотрицателен, поэтому с отрицательным коэффициентом он уменьшает прибыль. Наибольшая прибыль достигается при нулевом квадрате, то есть $x=p-2$, если $p>2$. Если $p\le2$, то для $x\ge0$ оба слагаемых $-0{,}5x^2$ и $(p-2)x$ неположительны, а прибыль не больше −6; строительство не окупится. Значит, рассматриваем $p>2$. Для окупаемости 78 млн не позже трёх лет нужна годовая прибыль не меньше: $$78:3=26.$$ Подставляем формулу наибольшей прибыли и решаем неравенство: $$\frac{(p-2)^2}{2}-6\ge26,$$ Прибавляем 6 и умножаем на 2: $$\frac{(p-2)^2}{2}\ge32,$$ $$(p-2)^2\ge64.$$ Так как $p>2$, разность $p-2$ положительна. Поэтому условие на квадрат означает: $$p-2\ge8,\qquad p\ge10.$$ Проверим нижнюю границу. При $p=10$ оптимальный выпуск равен $10-2=8$ тысяч единиц. Прибыль: $$10\cdot8-(0{,}5\cdot8^2+2\cdot8+6)$$ $$80-(32+16+6)=80-54=26.$$ За три года эта прибыль даст $3\cdot26=78$ млн рублей — ровно стоимость строительства. Ответ: 10 тыс. рублей за единицу.