ФИПИ DBAF65 — Оптимальный выбор

Нужно сравнить результаты продажи бумаг в разные целые годы. Если продать их в конце года $t$, выручка равна $t^2$ тысяч рублей. До конца 20-го года после этого пройдёт 20−$t$ начислений процентов. Обозначим множитель одного начисления через $q$. Тогда итог на счёте: $$F(t)=t^2q^{20-t},\qquad t=1,2,\ldots,20.$$ Не нужно вычислять все большие суммы по отдельности. Сравним результат следующего года с предыдущим. Если их отношение больше 1 — сумма выросла; если меньше 1 — уменьшилась. Для следующего года число начислений на одно меньше: $$F(t+1)=(t+1)^2q^{20-t-1}.$$ Делим выражения. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$\frac{F(t+1)}{F(t)}=\frac{(t+1)^2}{t^2}q^{(20-t-1)-(20-t)}$$ $$R(t)=\frac{F(t+1)}{F(t)}=\frac{(t+1)^2}{qt^2}=\frac{(1+1/t)^2}{q}.$$ Когда положительное целое $t$ увеличивается, дробь $1/t$ уменьшается. Значит, $1+1/t$, её квадрат и всё отношение $R(t)$ уменьшаются. Поэтому достаточно найти место, где рост сменяется убыванием: до него все отношения больше 1, после — меньше 1. По условию каждый год счёт увеличивается в $1+r$ раз, поэтому именно в этой задаче $q=1+r$; здесь $r$ уже доля прироста, а не число процентов. Для единственного лучшего года 9 нужны два строгих сравнения: $$R(8)>1,\qquad R(9)<1.$$ Первое означает, что переход к нужному году выгоден: $$\frac{9^2}{(1+r)8^2}>1,$$ Умножаем на положительный знаменатель и делим на положительный квадрат: $$81>(1+r)64,$$ $$1+r<\frac{81}{64}.$$ Второе сравнение означает, что откладывать продажу ещё на год уже невыгодно: $$\frac{10^2}{(1+r)9^2}<1,$$ $$1+r>\frac{100}{81}.$$ Вычитаем единицу из обеих границ: $$r>\frac{100}{81}-1=\frac{100-81}{81}=\frac{19}{81},$$ $$r<\frac{81}{64}-1=\frac{81-64}{64}=0{,}265625.$$ Границы не включаем: на каждой из них два соседних года дали бы одинаковый результат, а требуется строго один лучший год. По убыванию $R(t)$ раньше нужного года сумма растёт, после него убывает; поэтому сравнение со всеми годами выполнено. Ответ: $$r\in(\frac{19}{81};0{,}265625).$$